ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 分数については、これまでの回の教材ページでのべたとおり。
物体 (ここでは質点とみなす) に力をあたえて、位置 A から 位置 B まで動かす。 そこで物体にあたえられる力が「保存力」とよばれる部類のものならば、 仕事の大きさは、始点と終点だけにより、経路によらない。
また、物体に力をあたえて、もとの位置にもどってくるまでひとまわり動かす。 そこであたえられる力が保存力ならば、ひとまわりの仕事の合計はゼロである。
すべての力が保存力だというわけではない。 たとえば、摩擦力は、保存力ではない。
重力は保存力の一例である。 ひとまず、地球上の海面付近の高さのところを想定し、重力加速度を一定とする。 物体をまっすぐ上に引き上げたばあいと、 摩擦がない (と理想化した) 斜面を引き上げたばあいを考える。 始点と終点の高さを同じにして比較すると、 斜面を引き上げたほうが、力は小さくてすむが、距離は長くなる。 力と距離の積である仕事は、どちらでも同じである。 動滑車をつかうばあいも、同様に考えることができる。
下向きに重力加速度 g の重力がはたらいているもとで、 質量 m の物体を、高さ zA から zB まで持ち上げる。 まっすぐ持ち上げたばあいと、摩擦がない 傾きの角度 θ (傾きの値 [底辺に対する高さの比] tan θ) の斜面を持ち上げた場合で、 力、距離、仕事を比較してみよ。
力 F が 保存力ならば、 空間座標の関数でスカラー量である U という量があって、 Uの勾配 (Uを各方向の空間座標で微分したものからなるベクトル) の符号を逆にしたものが F である。 この U を F のポテンシャルという。
空間座標の関数であるスカラー量 U の「勾配」(gradient) は
(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)
というベクトル量である。これを「grad U」または「∇ U」とかく。 「∇」はナブラ (nabla) という演算子記号である。勾配のばあいは∇のあとに「・」も「×」もつけない。
保存力のはたらく場に物体 (質点とみなす) があるとき、 その物体は、その位置に応じて、ポテンシャル エネルギー (potential energy) または 位置のエネルギー とよばれるエネルギーをもつ。 ポテンシャルエネルギーと、ポテンシャル (第1の意味) とは、 物理量の次元も大きさも同じだが、 ポテンシャルは場の量としてとらえたものであり、 ポテンシャルエネルギーは物体がもつ量としてとらえたものである。
物体にはたらく力が、保存力と、仕事をしない力 (運動のむきに直交する力) だけならば、 物体の運動エネルギーと位置エネルギーの合計は一定である。 これを「力学的エネルギーの保存」という。
(この授業の教科書ではあつかっていないが、他の文献と見くらべると必要になるので補足しておく。)
重力は質量に比例する。 「重力場のポテンシャル」は、 もしそこに物体が置かれたばあいにそれがもつ重力の位置エネルギーの、 単位質量あたりの値である。 その物理量の次元は、「エネルギー/質量」にあたる。
静電気力は電荷に比例する。 「静電場のポテンシャル」は、 もしそこに電荷をもつ物体が置かれた場合にそれがもつ静電気力の位置エネルギーの、 単位電荷あたりの値である。 その物理量の次元は、「エネルギー/電荷」にあたる。