運動量と衝突

教科書 2.3節「運動量と角運動量」のうち 51ページ下 ～ 52ページ上の部分

教科書 2.4節「運動量保存則と衝突」

ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。

• 分数を斜線でしめしている (横線のほうがよい)。
• 総和のindex変数を下つき添え字のようにしている (Σの下にしめすべき)。
• 積分の上限と下限を下つき添え字のようにしている (∫の右下と右上にしめすべき)。

歴史的背景

物体どうしの衝突は、天体の運動、落体の運動 (地球の重力を受けた物体の運動)とならんで、 力学ができてくる過程で重要な問題だった。

動いている物体が衝突すると、あいての物体に衝撃をあたえる。 衝撃の大きさは、質量が大きいほど、また、速さが大きいほど、大きいようだ。

動いている物体は「力」をもっている、という考えがあった。 ニュートンの力の概念ができてからふりかえると、 その「力」は、ニュートンの意味での力ではなく、 方向をもたない量であるばあいは運動エネルギー、 方向をもつ量であるばあいは、(これから論じる) 運動量にあたっていたようだ。

参考となる動画の例

• [外] 理科ねっとわーく https://rika-net.com/
  • [外] [力学の扉]
    • [外] [動画一覧]
    • 衝突の例 77 (非弾性), 97 (一体化), 95 (弾性的), 11 (一方が静止)。 反発係数のちがい 96

運動量 (2.3節 51ページ下 ～ 52ページ上)

質量 m の質点が速度 (ベクトル) v で運動しているとき、 この質点は、運動量 (ベクトル) p = m v をもつ。

質点の運動方程式

F = m dv/dt ... [cf. (1.10a)]

は、運動量をつかうとつぎのように書ける。

F = dp/dt ... (2.19)

質点系の合計の運動量 (2.4節 53ページ下 ～ 54ページ上)

質点系を構成する各質点の運動方程式を合計したもの

Σ_i m_i d²r_i/dt² = Σ_i F_i ... (2.9 表現変更)

運動量をつかって書くと

d/dt(Σ_i p_i) = Σ_i F_i ... (2.23)'

質点系の全運動量 (ベクトル) をPとする。

P = Σ_i p_i ... (2.24)

また、2.2節で導入したように、質点系の全質量を M、重心 [=質量中心] の位置 (ベクトル) を R とする。

M R = Σ_i m_i r_i ... (2.10 表現変更)

これを t で微分すれば

M dR/dt = Σ_i d/dt(m_i r_i)

これをつかって (2.24) を書きかえると

P = M dR/dt ... (2.25)

(2.23)', (2.24), (2.25) をくみあわせると

dP/dt = M d²R/dt² = Σ_i F_i ... (2.26)

ここまでのまとめ

• (1) 質点系の全運動量は、重心に全質量が集中したと考えたときの質点の運動量にひとしい。
  • P = M dR/dt
• (2) 質点系の全運動量の時間変化率 [注] は、外力の総和にひとしく、内力は無関係である。
  • dP/dt = M d²R/dt² = Σ_i F_i
  • [注] ここで「Xの時間変化率」と書いたのは、単位時間あたりのXの変化量、 あるいは、Xの時間による微分である。 英語で rate というと、単位時間あたりの変化量であるのがふつうである。 日本語の「率」は、この rate の訳語であることもあるが、そうでないこともある。 教科書 54ページの「(ii)」の「時間的変化の割合」も、この rate である。
    • (用語補足) [rate、率] (2014-11-01)
• (3) もし外力の総和が 0 ならば、質点系の全運動量は一定にたもたれる。 ... 運動量保存の法則 (限定された意味)

運動量の変化と力積 (54ページ下 ～ 55ページ上)

地上のマクロな物体が衝突する状況では、物体間の重力 (万有引力) は無視できるが、 物体間の抗力が短い時間のあいだにはたらく。 このように短時間に集中してはたらく力を「撃力」という。 その状況で、力が時間とともにどのように変化するかを測定することはむずかしいが、 衝突がおこっていたあいだの時間について積分した量 (「力積」という) は、 運動量の変化からわかる。

• [(*) 2-5図 撃力と力積]

m dv/dt = F

これを t = t₁ から t = t₂ まで t で積分する。

m ∫_{t1 .. t2} (dv/dt) dt = m v(t₂) - m v(t₁) = ∫_{t1 .. t2} F dt

p(t₂) - p(t₁) = ∫_{t1 .. t2} F dt ... (2.27)

運動量の変化 [注: 後から前をひいた差であって、単位時間あたりではない] = 力積

[この関係が、運動量を変化させる要因をもふくめた意味での「運動量保存の法則」。]

2つの質点が衝突するときの運動量の変化 (55ページ下 ～ 56ページ上)

外力は無視する。 現実には外力もあるが、撃力がはたらいている短い時間のあいだにかぎれば、 撃力の力積にくらべて外力の力積は無視できることが多い。

運動方程式を運動量をつかってかく。

dp₁/dt = F_2,1

dp₂/dt = F_1,2

それぞれ t = t₁ から t = t₂ まで t で積分する。 【時刻の番号1,2と質点の番号1,2とは関係ない。】

p₁(t₂) - p₁(t₁) = ∫_t1..t2 F_2,1 dt

p₂(t₂) - p₂(t₁) = ∫_t1..t2 F_1,2 dt

作用・反作用の関係から F_2,1 = -F_1,2 であるから

∫_t1..t2 F_2,1 dt = -∫_t1..t2 F_1,2 dt

したがって

p₁(t₂) - p₁(t₁) = -{p₂(t₂) - p₂(t₁)}

くみかえると、運動量の合計は不変である。

p₁(t₁) + p₂(t₁) = p₁(t₂) + p₂(t₂) ... (2.28)

しかし、衝突前 (t = t₁) の p₁ と p₂ がわかっていても、 衝突後 (t = t₂) の p₁ と p₂ は これだけではきまらない。 ((2.28)式 は 実数変数についての3つの方程式であり、2つの質点の運動量は 6個の実数なので、それをきめるには 6つの方程式が必要。)

弾性衝突と非弾性衝突 (56ページ)

衝突の前後で運動エネルギーの合計が変化しないばあいを「弾性衝突」、 変化するばあいを「非弾性衝突」という。

2つの質点の弾性衝突での運動エネルギーが変わらないことはつぎのように書ける。

(1/2) m₁ v₁²(t₁) + (1/2) m₂ v₂²(t₁) = (1/2) m₁ v₁²(t₂) + (1/2) m₂ v₂²(t₂) ... (2.29a)

運動量をつかって書くと

(1/(2m₁)) p₁²(t₁) + (1/(2m₂)) p₂²(t₁) = (1/(2m₁)) p₁²(t₂) + (1/(2m₂)) p₂²(t₂) ... (2.29b)

(2.29b)式 は 実数変数についての1つの方程式であり、2つの質点の運動量 (6個の実数) をきめるには、まだ式が不足している。

ただし、運動が1次元の直線上にかぎられるならば、運動量をきめることができる。

56ページ [問]

条件

• 1次元の運動
• 2つの質点の弾性衝突
• m₁ = m₂
• 質点2は衝突前にはとまっている

運動量の保存...

運動エネルギーの保存...

「はねかえり型」と「くいこみ型」

つぎの本のひとつの章を見る。

• 坪井 忠二, 1970: 『力学物語』。岩波書店。 [読書メモ] [(*) 表紙画像]
  • 「第13話 'のれん' に腕押し」 (189-203ページ)
  • [(*) p. 189]
  • [(*) p. 190]
  • [(*) p. 191]
  • [(*) p. 192]
  • [(*) p. 193]
  • [(*) p. 194]
  • [(*) p. 195]
  • [(*) p. 196]
  • [(*) p. 197]
  • [(*) p. 198]
  • [(*) p. 199]
  • [(*) p. 200]
  • [(*) p. 201]
  • [(*) p. 202]
  • [(*) p. 203]
  • [注] 坪井の用語の「目方」(めかた) は「重さ」と同じ意味のかつての日常用語で、 ここでは「質量」をさしている。

坪井は、自動車の衝突を想定して、 衝突の類型として「追突型」「はねかえり型」「くいこみ型」をあげている。 (191ページに漫画的な絵でしめしている。)

しかし、理屈をとおせば、衝突前の両者の速度の関係で「追突型」と「正面衝突型」をわけ、 それぞれに「はねかえり型」と「くいこみ型」があるとするべきである。

坪井の「追突型」は、一方がとまっているばあいの弾性衝突で、教科書の56ページ[問]と同じ状況である。

坪井の「はねかえり型」は、1次元の正面衝突のうちの弾性衝突である。

坪井の「くいこみ型」は、1次元の正面衝突のうちの非弾性衝突で、衝突後は一体となって同じ速度で動くばあいである。 このような状況を「完全非弾性衝突」ということがある (つぎにしめす副島・杉山の本ではその表現をつかっている)。

「はねかえり型」と「くいこみ型」の中間に、いわば「不完全非弾性衝突」がある。

はねかえり係数

「はねかえり係数」または「反発係数」という数量 (無次元量) を考えることがある。

たとえば、参考書にあげた 副島・杉山 (2009) 『力学』の 3.5節 47ページ。

はねかえり係数 (e とかく [注]) は、 衝突前後の相対速度の比の符号をかえたものである。 (衝突前後で相対速度が逆むきになるばあいに正になるように符号をきめている。)

• [注] この e は、「はねかえり」に相当することば (rebound あるいは restitution) の頭文字ではなく、 おそらく「弾性的」に相当する elastic の頭文字に由来するのだろう。
• [注] 文脈によって、e は、exp(1) (約 2.7。自然対数の底でもある) だったり、楕円の離心率だったり、(電磁気学では) 電気素量だったりするので、注意。

副島・杉山の (3.20) 式 (2つの質点の1次元の運動を想定) をこの授業教材の表現で書きなおすと

e = - {v₁(t₂) - v₂(t₂)} / {v₁(t₁) - v₂(t₁)}

一般に 0 ≦ e ≦ 1 であり、弾性衝突では e = 1、完全非弾性衝突では e = 0 である。

質点系の運動エネルギーを、重心運動の運動エネルギーと相対運動の運動エネルギーにわけると、 衝突前後で、重心運動の運動エネルギーは変化せず、相対運動の運動エネルギーは e² 倍になる。

重心運動の運動エネルギーの一部が内部運動のエネルギーにかわる例 (56ページ下 ～ 59ページ上)

• [(*) 2-6図]

速さ v_0,前 [注1] で 直線運動する 質量 m₀ の質点1が、 とまっている「それぞれ質量 m の 質点2、質点3 が 長さ L、ばね定数 [注2] k のばねでつながれたもの」に衝突するとする。

• [注1] 教科書の「v₀」と「v₀'」の区別が見わけにくいと思ったので、 時間が衝突の前と後であることを「前」「後」で明示することにした。 (ここでの「前」「後」は空間的な位置関係ではない。)
• [注2] ばねの変位 (長さの変化) を x、復元力を F とすると、F = -k x である。 【このあとの文中ではこの x にあたる量を ξ [クシー] と書いている。】

まず、質点1と質点2が弾性衝突するとする。

運動量の保存 m₀ v_0,前 = m₀ v_0,後 + m v_後

したがって m₀・(v_0,前 - v_0,後) = m v_後 ... (a)

弾性衝突とすれば、運動エネルギーの保存 (「1/2」を省略してかく) m₀ v_0,前2² = m₀ v_0,後² + m v_後²

したがって m₀・(v_0,前 - v_0,後) (v_0,前 + v_0,後) = m v_後² ... (b)

(a)と(b)から v_0,前 + v_0,後 = v_後 ... (c)

(a)と(c)から

v_0,後 = {(m₀ - m)/(m₀ + m)}・v_0,前 ... (d)

v_後 = {2 m₀/(m₀ + m)}・v_0,前 ... (e)

v_0,前 が右向きだとすると、

• m₀ > m ならば v_0,後 > 0 (右向き)
• m₀ < m ならば v_0,後 < 0 (左向き)
• m₀ = m ならば v_0,後 = 0 (静止)

つぎに、衝突後の質点2と質点3からなる質点系の運動を考える。

重心運動。この系の全体としての運動量を P、質量を M (= 2 m)、重心の速度を V とする。

P = m v = {2 m₀ m/(m₀ + m)} v_0,前 = 2 m V

したがって

V = {m₀/(m₀ + m)} v_0,前

相対運動。2.1節の (2.7)式で、 換算質量 μ = m/2 。 質点2が質点3におよぼす力 F_2,3 = - k・(x - L) 。 ただし、x = x₃ - x₂ 。

ここで、ξ = x - L とすると

d²ξ/dt² = - {2k/m} ξ

となる。ξは 角振動数 sqrt(2k/m)、周期 2π sqrt(m/(2k)) の単振動をする。 変数をもどすと、x₃ - x₂ は、この周期の単振動をする。

x₃ - x₂ = L - v sqrt(m/(2 k)) sin ( sqrt(2 k/m) t ) ... (g)

質点1と、「質点2と質点3をまとめたもの」との衝突として考える。

衝突の前後で、運動量の合計は変わらない。

m₀・v_0,後 + (2 m) V = {(m₀ - m)/(m₀ + m)} m₀・v_0,前 + {2 m₀ m/(m₀ + m)}・v_0,前 = m₀ v_0,前

衝突の前後で、運動エネルギーの合計は減少している。

衝突前 (1/2) m₀・v_0,前²

衝突後 (1/2) m₀・v_0,後² + (1/2) 2 m V² = (1/2) m₀・v_0,前 ・{(m₀² + m²)/(m₀ + m)²} < (1/2) m₀・v_0,前

これは、「質点2と質点3をまとめたもの」の重心運動だけを考え、 相対運動 (振動) を無視したからである。

「質点2と質点3をまとめたもの」の内部運動のエネルギーを考える (2.5節 61ページ ～ 62ページ上) 。

質点2, 質点3 それぞれの位置を x₂、x₃、 重心の位置を X、相対距離 x₃ - x₂ を x、 合計の質量を M、換算質量を μ とすると

(1/2) m (d²x₂/dt)² + (1/2) m (d²x₃/dt)² = (1/2) M (d²X/dt)² + (1/2) μ (d²x/dt)²

相対距離が x のとき、ばねの長さは x - L だけのびている。 このときの (弾性力についての) 位置エネルギーは

U(x) = (1/2) k・(x - L)²

U(x₃ - x₂) = (1/2) k・(x₃ - x₂ - L)²

質点2が受ける力 -∂U/∂x₂ = k・(x₃ - x₂ - L)

質点3が受ける力 -∂U/∂x₃ = -k・(x₃ - x₂ - L)

単振動の解 (g)式 をつかうと

U = (1/2) k・(x₃ - x₂ - L)² = (1/4) m v² sin²( sqrt(2 k/m) t)

また、(g)式 から、相対運動の速度は

dx/dt = - v cos( sqrt(2 k/m) t )

相対運動の運動エネ>ルギーは

(1/4) m (dx/dt)² = (1/4) m v² cos²( sqrt(2 k/m) t)

弾性力の位置エネルギーと相対運動の運動エネルギーの合計は (1/4) m v²

これが、さきほどの、質点2と質点3をひとまとめにして重心運動の運動エネルギーだけを考えたときの 運動エネルギーの損失にあたっている。

この例についてのまとめ [授業で話したことを授業後補足]

この例では、衝突前の質点1の運動エネルギーと、 衝突後のつぎのものの合計がひとしいことをしめすことができるので、 衝突の前後で力学的エネルギーが保存している。

• 質点1の運動エネルギー
• 質点2と質点3からなる系の重心運動の運動エネルギー
• 質点2と質点3からなる系の相対運動 (質点2の速度と質点3の速度の差) の運動エネルギー
• 質点2と質点3をつなぐ ばね の弾性力の位置エネルギー

一般には、エネルギー保存がなりたっていても、 力学的エネルギーの保存はなりたっていないこともある。 そのばあいは、力学的エネルギーの一部分が他の種類のエネルギーへ変換される。

(分子運動のエネルギーを運動エネルギーとみなすことも可能ではあるが、 ふつう、それは物質の「内部エネルギー」 (この「物理学 I」では具体的にはあつかわない) とみなし、 力学的エネルギーにかぞえない。)

小レポート課題

教科書 56ページ [問] と同様に、 いずれも質量 m の質点とみなせる物体どうしが衝突したとする。 衝突前に、質点 1 は x軸の正の方向に速度 v で運動しており、質点 2 は静止していたとする。

つぎのばあいについて、衝突後の各質点の速度(のx方向成分)、運動量(のx方向成分)、運動エネルギーはどうなるか。

• 弾性衝突 (e = 1) のばあい (教科書 56ページの[問]、坪井の「はねかえり型」と同じ)
• 完全非弾性衝突 (e = 0) のばあい (坪井の「くいこみ型」)
• e = 1/2 のばあい

ここでは数値を問うわけではないので、数量には単位をつけなくてよい。

参考までに、SI 単位は、速度 m/s、運動量 kg m/s、運動エネルギー J である。