質点系の力学の基本

二体問題 (教科書 2.1節),　重心とその運動 (2.2節), 重心運動と相対運動(2.5節)

ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 分数については、これまでの回の教材ページでのべたとおり。

質点系

複数の質点をまとめてとらえたものを「質点系」という。

質点系を構成する質点どうしで力がはたらくことがある。 そのような力は、個々の質点にとっては外力だが、質点系にとっては内力である。

作用・反作用の法則 (教科書 2.1節 p. 44-45)

物体1 が 物体2 に力をおよぼしているとき、物体2 が 物体1 におよぼす力もある。 両者の大きさはひとしく、向きは反対である。

F_1,2 = -F_2,1 ... (2.1)

また、両物体間の力の方向は、両物体をむすぶ直線上にある。 (すべての力についてそういえるかは疑問だが、すくなくとも古典力学での重力 (万有引力) はそうである。) 物体を質点とみなし、位置ベクトルがそれぞれ r₁, r₂ とすれば、 両物体間の力の方向は、 r₂ - r₁ (これを r とする) に平行である。

[(*) 2-1図]

【注意。これは「力のつりあい」とは別のことである。 力のつりあいは、ひとつの物体に はたらく力の大きさがひとしく向きが反対であることに対応する。】

二体問題 (教科書 2.1節)

2つの質点が相互におよぼしあう力だけで運動しているばあい

それぞれの質点についての運動方程式

m₁ d²r₁/dt² = F_2,1

m₂ d²r₂/dt² = F_1,2 ... (2.2)

両者をあわせたもの (たしざん)

d²/dt²(m₁ r₁ + m₂ r₂) = 0 ... (2.3)

ここで

M = m₁ + m₂ ... 質点系の全質量

R = (m₁ r₁ + m₂ r₂) / M ... 重心の位置 (2.4 改)

2個の質点からなる系のばあい、重心は2点をむすぶ直線上にあり、 質点 i から重心までの距離 (絶対値)を L_i とすれば、 L₁ / L₂ = m₂ / m₁ である。

[(*) 2-2図 二体-系と重心]

(2.3)式 をかきなおすと、重心の運動についての式

M d²R/dt² = 0 ... (2.5)

また、(2.2)式から、(1/m₁)×(上の式) - (1/m₂)×(下の式) をつくり、

μ = 1 /{ (1/m₁) + (1/m₂) } ... (2.6)

とおけば

d²r/dt² = (1/μ) F_1,2 ... (2.7)

となり、質量 μ の質点の運動方程式と同じ形になる。 そこで、この μ をこの質点系の「換算質量」という。

とくに、m₁ = m₂ = m のとき、換算質量は m/2 である。

重心の運動 R(t) と 相対座標の変遷 r(t) がわかれば、 それぞれの質点の運動はつぎのように書ける。

r₁(t) = R(t) -(m₂/M) r(t)

r₂(t) = R(t) +(m₁/M) r(t)

そのうち、2質点間の力が重力 (万有引力) であるばあい

F_1,2 = -G m₁ m₂ / r² ・ r/r

重心の位置 R(t) は等速直線運動をする。

相対座標 r(t) は、(2.7)式に、F_1,2 の具体的な形を入れれば得られる。 相対座標の変化の式は、[万有引力と惑星の運動]のところでやった、 太陽がとまっているとみなしたときの惑星の運動の式と同じ形をしている。

ここでは両方の質点が動く。両質点の軌道は相似形をしていて、その寸法 (長さ) は質量が小さいほうが大きい。

惑星の運動のばあいも、厳密には太陽もうごいているのだが、その変位は惑星の公転にくらべて小さい。 恒星どうしの連星のばあいは、両方の天体の運動を考える必要がある。

さらにそのうち、等速円運動のばあい

相対座標の大きさが時間とともに変化せず r₀ だったとする。

平面極座標で考える。参考: [(*) 平面運動の極座標表示] (教科書 1.13節)

面積速度 (1/2) r² dθ/dt が一定、 r が一定だから、 角速度 dθ/dt ( = ω とおく) も一定である。

加速度の接線成分は 0 である。法線成分は r₀ ω² で、これが両天体間の重力だから、 換算質量による運動方程式の動径方向成分 (法線成分) はつぎのようになる。

μ r₀ ω² = G m₁ m₂ / r₀²

μ = m₁ m₂ / (m₁ + m₂) なので

ω² = (m₁ + m₂) G / r₀³

したがって、周期 T = 2 π / ω = 2 π sqrt( r₀³ /{ (m₁ + m₂) G } )

重心とその運動 (教科書 2.2節)

三体以上の運動方程式は、ほとんどの場合、微分積分によって解をもとめることができない。 (この文脈で「解析的に」ということばは「微分積分によって」という意味である。)

しかし、一般的に言えることはある。

各質点に、質点系内の質点間の力 (「内力」) と、質点系外からの力 (「外力」) がはたらいているとする。

各質点 (番号 i) の運動方程式

m_i d²r_i/dt² = F_i + 系内の他の質点からの力

をたしあわせると、重心の運動方程式の形にまとめることができる。 このとき、内力は作用・反作用がうちけしあって消えるので、力としては外力だけを考えればよい。

M = Σ_i m_i

M R = Σ_i (m_i r_i)

M d²R/dt² = Σ_i F_i ... (2.11)

(Σ_i は i について総和をとることをあらわす。i はΣ の下にくるべきである。)

(この性質があるおかげで、大きさのあるものの運動を質点の運動で近似できる。)

現実の物体は、質点のあつまりとはちがい、空間に質量が連続分布している。 しかし、それを微小部分にわければ、それぞれを質点と考えることができる。 微小部分の体積を d V、その位置を r、密度を ρ(r) とすると、 位置 r にある微小部分の質量は ρ(r) d V とあらわせる。 これが m_i に対応する。 i についての和は積分になる。

[(*) 2.2節のうち 49ページ下半分 (2.12)式、(2.12)' 式など]

重心運動と相対運動 (教科書 2.5節)

【[注意] ここでの「相対運動」は質点系の重心に対する各質点の相対運動である。 別の文脈では「相対運動」ということばが、動く座標系からみた運動をさしてつかわれることもある。】

[(*) 2-7図]

座標原点を O とする。(教科書 2.5節本文 2行めの「座標質点」は誤字だろう。)

i番めの質点の位置ベクトルを r_i、重心の位置ベクトルを R とする。

i番めの質点の重心からみた相対位置 = 位置 - 重心の位置

r_i' = r_i - R ... (2.30 改)

これを時間で微分すると、相対速度 = 速度 - 重心の速度

v_i' = v_i - V ... (2.31 改)

これに m_i をかけて i について総和をとり、重心の定義とてらしあわせると

Σ_i (m_i r_i') = 0 ... (2.32)

Σ_i (m_i v_i') = 0 ... (2.33)

重心運動と相対運動の運動エネルギー

ひとまず速度ベクトルの x 方向の成分をとりあげる。

v_ix = V_x + v_ix'

(速度 = 重心の速度 + 相対速度)

なので、i番めの質点の運動エネルギーのうち x 方向の速度による部分はつぎのようになる。

(1/2) m_i v_ix² = (1/2) m_i V_x² + m_i v_ix' V_x + (1/2) m_i v_ix' ²

質点系を構成する質点について合計する。(2.33)式によって右辺のまんなかの項は消える。

Σ_i {(1/2) m_i v_ix²} = (1/2) M V_x² + Σ_i {(1/2) m_i v_ix' ²}

ここまで x 方向の成分についてみてきたが、y 方向、z 方向も同様なので、合計すると

Σ_i {(1/2) m_i v_i²} = (1/2) M V² + Σ_i {(1/2) m_i v_i' ²} ... (2.34)

(ただし、この v_i、V、v_i' はそれぞれ、質点の速度、重心の速度、相対速度のベクトルの大きさをしめす。)

質点系の運動エネルギーは、重心運動の運動エネルギーと、 重心に対する相対運動の運動エネルギーの和にひとしい。

分子からなる物体を巨視的にみるとき、重心運動の運動エネルギーだけを、運動エネルギーとしてとりあげる。 分子の相対運動の運動エネルギーは、「内部エネルギー」としてあつかわれる。

61～62ページの例は 2.4節の内容をあつかったあとでとりあげる予定。