仕事と運動エネルギー (教科書 1.9節)

ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 分数については、これまでの回の教材ページでのべたとおり。

それにくわえて、 積分の上限・下限を、∫_{下限..上限} のように書くことがある。 上限は積分記号の上側に書かれるのが正しい。

運動エネルギーの概念の概略

運動する物体は、ある、方向をもたない量 (スカラー量) をもっていて、 その量は、速さ (速度の大きさ) が大きいほど大きく、質量が大きいほど大きい。 その物体に力が働かなければ、その量は変わらない。(速度 (ベクトル) も変わらない。) その物体に働く力の向きが速度と直交しているばあいも、その量は変わらない。 (速度 (ベクトル) は、向きは変わるが、大きさは変わらない。) その量は「運動エネルギー」(英語では kinetic energy) と名づけられた。 質量を m、速度の大きさを |v| とすると、 運動エネルギーは、(1/2) m |v|² である。 速度を直交直線座標で成分にわければ、 運動エネルギーは、(1/2) m {v_x² + v_y² + v_z²} である。 あとでのべる《ベクトルの内積》をつかえば、 運動エネルギーは、(1/2) m v・v とも書ける。

一般の曲線の軌跡で考えると、力の接線成分は運動エネルギーを変え、 力の法線成分は (速度の向きを変えるが) 運動エネルギーを変えない。

[(*) 19ページの1.9節のはじめの部分の本文]

(なぜ2乗なのか、なぜ (1/2) が出てくるのか、わかりにくいが、 このあと、合成関数の微分をつかった説明をする。 さらに、「位置エネルギー」 (教科書 1.12節) とあわせるとわかってくると期待する。)

仕事の概念の概略

物体 A が 物体 B に力をあたえて、物体 B が動いたとき、 物体 B の運動エネルギーが、ある数量だけ変化する。 このとき、物体 A が 物体 B に、運動エネルギーと同じ 《物理量の次元》をもった 方向をもたない量をあたえたと考えることができる。 この量が、「仕事」 (英語では work) である。

力と、物体 B の変位 (位置の変化) とが同じ方向 (ただし正・負がありうる) であるとき、 仕事は、力 F と 変位 Δx との積である。

一般には、微小距離ごとの仕事は、力 (ベクトル) F と 変位ベクトル Δr との《内積》 (スカラー積) である。
直交直線座標で成分にわければ、 F_x Δx + F_y Δy + F_z Δz である。
力の接線成分 F_t と 軌跡にそった変位 Δs の積と書くこともできる。 力の向きと速度の向きのなす角をθとすれば、F_t = |F| cos θ である。

そして、微小でない距離の運動にともなう仕事は、 微小距離ごとの仕事をたしあわせ (微小距離を0にちかづけた極限で、積分) すればよい。 教科書 (小出 1997) では、一般の曲線の軌道について、微小部分ごとにわけて論じている。

[(*) 1-15図]

[(*) 19ページ最後-20ページの本文と脚注]

[(*) 20ページの本文]

[(*) 20ページ最後-21ページ最初の本文]

[(*) 1-18図]

[(*) 21ページ最後-22ページ最初の本文]

(数学的概念) ベクトルの内積 (スカラー積)

ベクトルの「積」として、複数のものが考えられるが、 そのひとつが、「内積」あるいは「スカラー積」とよばれるものである。 2つのベクトルを入力、1つのスカラー (方向をもたない量) を出力とする演算である。

数式での記号は、ふつう、「・」 (dot) がつかわれる。

内積は、3次元ベクトルに限らず任意の次元のベクトルに適用可能である。 ただし、入力のベクトルどうしの次元数は同じとする。 【ここでの「次元」は、空間の次元にあたるものであり、物理量の次元ではない。】

ベクトルを直交直線座標で成分に分けるならば、 内積は、それぞれの成分ごとの積の総和である。3次元の例でいえば

a・b = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z

また、幾何学的にいえば、 内積は、両ベクトルそれぞれの大きさの積に、両ベクトルのなす角の cos をかけたものである。 両ベクトルのなす角が直角より大きいときは、内積は負となる。

a・b = |a| |b| cos θ

[(*) 1-16図]

内積について、交換法則がなりたつ。 【別の回にのべる「外積」 (ベクトル積) については、交換法則がなりたたない。】

a・b = b・a

内積について、分配法則 【授業のとき見せたページでは「結合法則」と書いていましたがまちがいでした】 がなりたつ。

a・(b + c) = a・b + a・c

[(*) 1-17図]

(数学をはなれて) 物理量に適用されたばあい、 内積の物理量の次元は、入力の両ベクトルの物理量の次元の積になる。

運動エネルギーと仕事との関係

副島・杉山 (2009) 『力学』3.1節 35-36ページにしたがって議論をおぎなっておく。 ひとまず1次元で考える。x方向の速度を v、X方向の力を F とする。

運動方程式

m dv/dt = F

両辺に v をかけると

m dv/dt v = F v ... (副島・杉山 3.3式)

v²の t による微分を合成関数の微分の公式で分解する。

d(v²)/dt = d(v²)/dv dv/dt= 2 v dv/dt

したがって

dv/dt v = (1/2) d(v²)/dt

これを上記 3.3式 に代入すると

d/dt{(1/2) m v²} = F v ... (副島・杉山 3.4式)

左辺は運動エネルギーの単位時間あたり変化、右辺は単位時間あたりの仕事である。 右辺を「仕事率」 (英語では power) という。 【物理では、単位時間あたりの量を、英語では rate、日本語では「率」ということが多い。 しかし、かならずそうとはかぎらない。「仕事率」は work rate とはいわない。】

上記 3.4式を、時間 t = t₁ から t = t₂ まで積分する。 それぞれの時刻の v の値を v₁、v₂、 質点の位置を x₁、x₂と書く。

(1/2) m v₂² - (1/2) m v₁² = ∫_t1..t2 F v dt = ∫_t1..t2 F dx/dt dt = ∫_x1..x2 F dx

この最後の右辺は、力を距離で積分したものであり、質点にあたえられた仕事にあたる。

放物運動の例

[放物運動] (1.6節) の例について考える。 y軸を鉛直上向きにとっている。

ここでは、x, y の2次元での質点の運動を考える。 z 方向 (紙面に垂直) は位置が 0 から変化しないとする。速度の z 成分は 0 である。 x 方向は等速運動である。ここで、質点には x 方向と z 方向の力は働いていない。

質点に働く力は y 方向の重力 -m g である (下向きなので負の符号がつく)。

[(*) 22ページの「例」の本文、1-19図]

dy は上昇のときは正、下降のときは負の値をとる。

ここで g は定数としているから、積分する際にはくくり出すことができる。 結果として、重力による仕事は、高さの差 (終わり ひく はじめ) に -m g をかけたものである。 (他の力がはたらかないとすれば、これだけ、質点の運動エネルギーがふえている。)

等速円運動の例

[(*) 22ページの「問」の本文]

小課題

第2回の小レポート問題として出した落体問題 ([落体問題の計算例] 参照、 ただし、初期位置、初期速度、時間刻みは、このページの例にこだわらず、 各自設定すること) について、 さらに、物体 (質点とみなす) の質量を設定して、 積分された式による方法による速度にもとづいて、 各時刻の運動エネルギーを計算してみよう。