放物運動

[注] 数式には、分数、あるいは微分記号などの分数と同様な形のものが多数あらわれます。 分数は横線の上に分子、下に分母をかく形が標準的です。 しかし、ウェブページを構成する HTML という言語では、 横線をつかった分数をかくことがむずかしいです。 それで、わたしの教材ウェブページでは、「 y / x 」のように、分数を、 斜め線の前に分子、後に分母という形でかくことが多くなっています。 教科書などを参照して、横線の形に書きかえたものをつかいなれるようにしてください。 なお、斜線をつかった形式で必要な かっこ のうちには、 横線をつかった形式では不要になるものがあります。

放物運動 (教科書 1.6)

[(*) 1-11図]

ここでは、x, y の2次元の運動を考える。 y軸を鉛直上向きにとる。 【前回の「落体問題」の増田の例文では、 z軸を鉛直上向きにとった。それは気象学の習慣にあわせたものである。 しかし物理一般にはどの軸を鉛直にとるかのきまった習慣はなく、 それぞれの事例ごとに意識する必要がある。】

質量 m の質点がある。 下向きに重力加速度 g が一定値であるような重力がかかる。 (g の数値が必要であれば、9.8 m/s² とする。) ほかに力はかかっていないとする。

すると、質点の運動方程式はつぎのようになる。

m d²x/dt² = 0

m d²y/dt² = -m g

このばあい、つぎのように m を消去できる。(この質点の運動は質量の値によらない。)

d²x/dt² = 0 ... (1.12a)

d²y/dt² = -g ... (1.12b)

初期条件として、t = 0 のとき、 質点の位置は原点にあったとする。 質点の速度は、大きさ V₀、向きはx軸から上向きを正にとって θ だったとする。

x(0) = 0

y(0) = 0

v_x(0) = V₀ cos θ

v_y(0) = V₀ sin θ

このばあい、x方向、y方向の運動をそれぞれ考えて合成すればよい。 x方向は、加速度が0なので、速度が一定、位置が時間の1次関数になる。 y方向は、加速度が一定値なので、速度が時間の1次関数、位置が時間の2次関数になる。 (前回の落体運動の z方向 と同じである。) つぎの式で、{ } でかこんだ部分は、積分定数であり、初期条件によって値がさだまる。

v_x(t) = {V₀ cos θ} ... (1.13a)

v_y(t) = {V₀ sin θ} - g t ... (1.13b)

x(t) = V₀ t cos θ + {0} ... (1.14a)

y(t) = V₀ t sin θ - (1/2) g t² + {0} ... (1.14b)

【[訂正] x(t)とy(t)の式の V₀がでてくる項の t がぬけていました。 2021-10-14 の授業後に訂正しました。 ただし、t を cos θ (など) のあとに書くとどこまでが cos の中かがまぎらわしいので、 cos θ の前に書くようにしました。】

軌道

x(t)の式とy(t)の式から t を消去することによって、軌道の式 (xとyとの関係式) が得られる。

x(t)の式を t についてとけば

t = x / V₀ cos θ

これを y(t)の式に代入すれば

y = -(g/(2 V₀² cos²θ)) x² + (tan θ) x ... (1.15)

(「cos² θ」は (cos θ)² のことである。 【cos(cos(θ)) のことではない。】)

これは、y = a x² + b x + c (a, b, c は定数) の形をしている。放物線であり、y軸について対称である。

最高点

放物線の最高点では v_y = 0 となる。 そこでは、(1.13b)の左辺が0となるから、その右辺から、

t = ( V₀/g ) sin θ

この t が、投げ上げてから最高点に達するまでの時間である。

この t を (1.14b) に代入すれば

y = ( V₀² / 2 g ) sin² θ

この y が、最高点の高さである (教科書ではこれをあらためて h と書いている)。 【授業中に見せたものは「この t が」になっていました。授業後訂正しました。】

落下位置、射程

軌跡の式 (1.15) から、y = 0 となる x は、x = 0 のほかにつぎの値がある。

x = (2 V₀²/g) sin θ cos θ = (V₀²/g) sin 2θ

(三角関数の性質 2 sin θ cos θ = sin 2θ をつかって書きかえた。)

この x が、投げ上げたものが (平面と仮定した) 地面に落ちる位置の x 座標であり、 ここでは投げ上げた位置を x = 0 としたので、「射程」でもある。

同じ初速でちがった仰角での投げ上げの比較

[(*) 1-12図] のように、 同じ 初速 V₀ [「同じ初速度」ではないことに注意] で、さまざまな仰角θで投げ上げたばあいを考える。

sin 2θ は、2θ = π/2 [直角]、つまり θ = π/4 [45°] のとき、最大値 1 をとる。 V₀ が同じであるうちで、射程が最大になるのは、仰角 45°で投げあげたときである。

「[問]」の「テニスボールが壁に直角に当たった」も、v_y = 0 の状況である。

運動方程式と因果律

教科書15ページに「ニュートン力学は因果律を満たすようにできているのである。」とある。 ここには「因果律」ということばの直接的説明はないが、 Wikipedia日本語版 [[因果律]] (2021-10-06 閲覧) の記事のうち 「物理学における因果律」の節の記述のうちの 「指定された物理系において「現在の状態を完全に指定すればそれ以後の状態はすべて一義的に決まる」」 ということなのだろう。 (ここでは「現在の状態が分かれば過去の状態も分かる」という主張はしていないと思う。)