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[力学]

連続体 (流体、弾性体) の力学への序論

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質点、剛体と連続体

[剛体の力学 (3)] のはじめに、 質点や剛体の近似をすることによって、質点系の状態をしめす数量の個数が少なくなることをのべた。

現実の物体は、質点や剛体で近似できるとはかぎらない。 質点系としてとらえることはできるが、質点の数がとても多くなることがある。 そのばあいには、質量が質点に集中しているのではなく、 空間に分布していると考えたほうがよいことがある。 そして、密度 (単位体積あたりの質量) が、 体積を無限小にした極限でも、有限の数値としてもとめられる、と想定するのが、 「連続体」の考えかたである。

現実の物質は、原子や分子からなっている。 日常の空間規模よりは小さくても、たくさんの原子や分子をふくむ空間規模をとれば、 密度をきめることができ、 中心の点をかえずに空間規模をちいさくしていったときの極限の値を 「その点での密度」ということができるだろう。 しかし、原子や分子の大きさにちかづいていくと、密度はさだまりにくくなるだろう。 現実の物体を連続体とみなすことは、巨視的な物体の性質を、 体積を無限小にしたばあいに外挿した、一種の近似なのだ。

連続体も、質点系であると考えることができる。 ただし、質点の個数が、(有限個ではなく、整数で表現される「数えられる無限」でもなく) 実数で表現される連続無限になる。

応力

連続体の小部分には、それに接した小部分からの力が働く。 面に働く単位面積あたりの力が「応力」(英語では stress)である。

応力のうち、面に垂直な成分を「法線応力」 (英語では normal stress)、 面に平行な成分を「せん[剪]断応力」あるいは「ずり応力」(英語では shear stress) という。 【[授業後訂正] 授業中「sheer」と書きまちがえたものを見せてしまいましたが、正しくは「shear」です。】 (「ずれ応力」という人がいるが、「ずれ」は標準値との差をさすこともあるので、避けたほうがよい。) 「接線応力」ともいう。

連続体の小部分を、直交直線座標の軸の方向にあわせた、直方体として考える。

直方体のそのそれぞれの表面に働く、単位面積あたりの力を考える。 それから、小部分の体積を無限小にした極限を考える。 3次元空間では、直交する3つの方向の面に対して、直交する3つの方向の力を考えるので、 連続体の中の各点での応力は、3×3 = 9 個の成分をもつ。

「圧力」(英語では pressure) は法線応力のことだが、それが小部分間が押しあうむきに働き、 しかも、同じ位置でどちらを向いた面に対しても法線応力の大きさが変わらないばあいに 適切な用語である。 静止した流体の内部では、応力は圧力だけとなる。 (小部分間が引きあうむきに働くばあいは「張力」が適切な表現となる。)

応力は、連続体を質点系としてみたとき、内力である。 小部分どうしの応力は作用・反作用の関係にあり、大きさが同じで向きが反対である。

ひずみ、弾性体

固体は、応力をあたえると変形するが、応力をとりのぞくと もとの形にもどる性質をもつ。 (現実の物体は厳密にそうではないが、近似的にそうである。) 連続体を構成する各小部分の位置の、初期の位置との差を「変位」という。 連続体を質点系と考えると、 その運動のうちで、並進運動 (重心の運動) と、剛体のばあいと同様な回転運動 を とりだすことができ、残りが変形である。 変位の空間的なちがいを、変位を空間座標で微分したもので表現する。 これが「ひずみ」(英語では strain)である。 変位が3次元ベクトルで、空間座標も3次元なので、ひずみは 3×3=9個の成分をもつ。 変位をそれと同じ方向の空間座標で微分したものは、伸縮ひずみ である。 変位をそれと垂直な方向の空間座標で微分したものは、せん断ひずみ といわれる。

応力がひずみによって決まり、ひずみを復元するように働くものが、弾性体である。 とくに、応力がひずみに比例するばあい (フック [Hooke] の法則がなりたつばあい)を 「線形弾性体」という。

流体、変形速度

流体 (液体や気体) は、応力をあたえると運動し、応力をとりのぞいても運動を続ける。 この場合、初期の位置からの変位を考えることの意義はとぼしい。

そこで、速度を空間座標で微分したもの、いいかえれば、ひずみを時間で微分したものを、 「変形速度」としてとりあげる。これは 3×3=9個の成分をもつ。 変形速度のうち、速度の成分をそれと同じ方向の空間座標で微分したものは、 伸縮 (体積の変化) に対応する。 速度の成分をそれと垂直な方向の空間座標で微分したものは、せん断型の運動に対応する。

流体が運動しているとき、その内部には変形速度に応じて応力がはたらく。 これを「粘性」(英語では viscosity) という。 それは、変形速度のうち せん断型の部分に比例する応力で近似できることが多い。 この比例定数を粘性係数という。 また、粘性係数を密度でわったものを動粘性係数といい、 密度のちがう流体の運動を比較するときには、こちらに注目したほうがよい。

連続体の運動方程式の表現

連続体の運動を記述するとき、大きくわけて2つの立場がある。 便宜上、「ラグランジュ型」と「オイラー型」とよばれている。 実際には、ラグランジュ (Lagrange) も オイラー (Euler) も両方の考えかたをした。

【オイラーとラグランジュはいずれも 18世紀のヨーロッパの学者で、オイラーのほうが先輩である。 オイラーは、ニュートンの運動法則を微分方程式の形に定式化し、 そこに出てくる力と、静力学 (力のつりあいの問題) でいう力が同じものであると論じた。 また、この授業であつかったような剛体の運動の方程式も定式化した。 そして流体の動力学も考えた。 ラグランジュはその先にすすんで、「解析力学」を定式化した。】

ラグランジュ型の考えかたでは、連続体の小部分を、位置が変わってもおいかけて、 それに働く力を考える。

オイラー型の考えかたでは、空間座標を固定した空間の小部分をとりあげ、 そこにくる物体のもつ物理量を考える。

ある物理量 F を、空間座標 (x, y, z) と 時間 t の関数としてあらわしたとする。 連続体のうち、注目する位置の小部分が、速度 v [太字] = (u, v, w) で運動していたとする。 微小時間 Δt の後には、その小部分は (x + uΔt, y + v Δt, z + wΔt) に移動している。 そのあいだの F の変化は

ΔF = F(x + uΔt, y + v Δt, z + wΔt, t+Δt) - F(x, y, z, t)

≒ {F(x, y, z, t+Δt) - F(x, y, z, t)} + {F(x + uΔt, y, z, t) - F(x, y, z, t)} + {F(x, y + v Δt, z, t) - F(x, y, z, t)} + {F(x, y, z + w Δt, t) - F(x, y, z, t)}

Δt を無限小にした極限で

dF/dt = ∂F/∂t + u ∂F/∂x + v ∂F/∂y + w ∂F/∂z

ベクトル表現すれば

dF/dt = ∂F/∂t + v・grad F

ここでの左辺の dF/dt が、ラグランジュ型の (連続体の小部分をおいかけた) 時間微分である。 右辺のうちの ∂F/∂t が、オイラー型の (空間座標に固定した) 時間微分である。

オイラー型の表現で式をたてる際には、 物理量の時間微分には、時間による偏微分の項 (「局所変化項」ということがある) のほかに、 「v・grad F」型の項 (「移流項」ということがある ) をふくめなければならない。

教科書 3.8節 102～103ページ「完全流体に対するオイラーの運動方程式」には、 粘性のない流体の運動方程式の、オイラー型の表現がしめされている。

連続体の質量保存、「連続の式」

質量保存の法則は、ラグランジュ型で考えれば、動いていく小部分の質量は変化しない、 ということである。しかし、その体積は変化しうる。

オイラー型で考えてみる。空間に 密度 (単位体積あたりの質量) ρ [ロー] が分布しているとする。 そして、空間座標に固定した直方体の箱の中の質量の収支を考える。 運動が x 方向にだけあって、流速が u だとすれば、

∂ρ/∂t Δx Δy Δz = -{ρ(x+Δx) u(x+Δx) Δy Δz - ρ(x) u(x) Δy Δz}

∂ρ/∂t + ∂(ρ u)/∂x = 0

3次元の一般のばあいは

∂ρ/∂t + ∂(ρ u)/∂x + ∂(ρ v)/∂y + ∂(ρ w)∂z = 0

ベクトル表記すれば

∂ρ/∂t + ∇・(ρ v) = 0

あるいは

∂ρ/∂t + div (ρ v) = 0

ここで「div」は (3次元の)発散 (divergence) という演算子である。

ラグランジュ型にもどって、 微小体積 ΔV のもつ質量が変化しないことは、つぎのようにかける。

d(ρ ΔV)/dt = 0

これを積の微分をつかって書きなおすと

(1/ρ) dρ/dt + (1/(ΔV)) d(ΔV)/dt = 0

第2項は、体積の相対変化率であり、div v にひとしい。

連続体の力学では、質量保存の式のことを「連続の式」ともいう。

文献 (今後、参考になる本を補足したい)

2022-01-13
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
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