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[剛体の力学 (2)]であつかった「剛体の平面運動」の例として、 前野 (2013) の本の 8.6.3 節 (253-257 ページ) にしたがって、車輪の加速を考える。
車輪は円柱であるとし、紙面に垂直な方向には一様であるとする。 平面上を、半径 R、質量 M の車輪が、すべらずに、角速度 ω でころがるとする。 車輪の中心が移動する速度 (の進行方向の成分) を v とすれば、つぎの関係がある。
v = R ω ... (前野 8.55)
ここでは、鉛直方向の力 (重力や垂直抗力) は (回転に関係ないので) 書かないことにする。
車輪を回転するには、車軸のまわりに偶力をあたえる。 車軸から上下に r だけ離れた点に、外力 f をたがいに逆向きにかけたとする。 この2つの力だけでは、合力が 0 なので、車輪は加速しない。
車輪が地面と接触したところで、 車輪は地面をうしろ (図の右側) に押す (力の大きさを F とする)。 その反作用として、車輪は地面から、図の左向きの力 F を受ける。 車輪がまだ動きださない状況では、この力は静止摩擦力である。 この地面からの摩擦力によって、車輪は加速する。
車輪の並進 (重心の運動) についての運動方程式はつぎのようになる。
M dv/dt = F ... (前野 8.56)
車輪の回転の角速度 ω の時間変化、角加速度 dω/dt について考える。 これには 3つの力が働く。2つの f は回転を速くする方向のモーメントを、 摩擦力 F は 回転を遅くする方向のモーメントを与える。
I dω/dt = 2 f r - F R ... (前野 8.57)
ここで I は、車輪の軸を中心とした慣性モーメントである。
(8.55), (8.56), (8.57) から ωを消去すると
(I/R) dv/dt = 2 f r - F R ... (前野 8.58)
(8.56) と (8.57) を dv/dt = ... の形に表現したものの右辺どうしがひとしいことから
(2 f r R - F R2) / I = F / M
f についてとくと
f = F (M R2 + I) / (2 M r R)
実際には、f をあたえることによって、F がきまる。
車輪のエネルギーを増加されるのはどんな力によるのか? F は仕事をしていない。 2つの f は同じ大きさで逆向きだが、それによる移動距離は同じでないので、正味で仕事をする。 仕事率 (単位時間あたりの仕事) は 力 かける 速度である。 軸の上側の作用点は v + r ω、下側の作用点は v - r ω で左に進んでいるから、 2つの力のする仕事率をあわせたものは
f ・ (v + r ω) - f ・ (v - r ω) = 2 f r ω ... (前野 8.61)
他方、運動エネルギー E は、並進の運動エネルギーと回転の運動エネルギーの和
E = (1/2) M v2 + (1/2) I ω2
それを時間で微分したものは
dE/dt = M v dv/dt + I ω dω/dt ... (前野 8.62)
運動方程式 (8.56) と (8.57) を代入すれば
... = v {M dv/dt} + ω {I dω/dt} = v F + ω (2 f r - F R) = 2 f r ω ... (前野 8.63)
と なり、たしかに仕事率が運動エネルギーの増加をもたらしている。
もうすこし現実的には、人間が一輪車を動かしているとする。
車に乗った人間を加速するためには、 人間が車の下側をうしろむきに押す力 f' のほうが 車の上側を前むきに押す力 f より大きくなければならない。 (その反作用として、人間が前むきに押される力 f' のほうが うしろむきに押される力 f よりも 大きくなるので、人間は前むきに加速される。)
人間 (質量 m とする) の水平方向の運動方程式
m dv/dt = f' - f ... (前野 8.64)
車輪の水平方向の運動方程式
M dv/dt = f - f' + F ... (前野 8.65)
車輪の回転の運動方程式
I dω/dt = f r + f' r - F R ... (前野 8.66)
力がこれだけだと、人間が回転してしまうが、 実際には鉛直方向の力もあって、それを適切にあたえれば、回転しないですむ。 (これを適切にあたえるのが、一輪車をのりこなす技能である。)
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