剛体の力学 (2)

教科書 2.8節「固定軸の周りの剛体の運動」(つづき)、 2.9節「慣性モーメントの計算」、2.10節「剛体の平面運動」

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• 分数を斜線でしめしている (横線のほうがよい)。
• 総和のindex変数を下つき添え字のようにしている (Σの下にしめすべき)。
• 積分の下限、上限を下つき添え字のようにしている (∫の右下と右上にしめすべき)。
• 体積による積分を、ひとつの∫であらわす (教科書では「∫∫∫」としている)。
• 平方根を sqrt(...) であらわす (√ をつかうべき。)

慣性モーメントの計算 (教科書 2.8節 71-72ページ)

剛体を質点系と考えたばあいの慣性モーメントの式

I = Σ_j {m_j r_j²}

現実の物体は、質量が空間にひろがっていて、密度 (= 質量 / 体積) が有限の値をもつ。

そのような物体の「質量 かける なになに」の総和をもとめるには、「密度 かける なになに」を体積で積分する。

ここでは、原点 O をとおる z軸 のまわりの慣性モーメントをもとめるばあいについて考える。

I = ∫ r² ρ dV ただし ここでの r は z軸からの距離。[原点からの距離ではない。]

I = ∫∫∫(x² + y²) ρ dx dy dz ... (2.49)

例1. 細い一様な棒

質量 M、長さ L [教科書では小文字の l。角運動量でないことに注意]。 回転軸は棒の端からの距離 a のところで棒に垂直とする。

棒にそって x 軸をとる。

「一様」であることから、長さ dx ごとの質量は (M/L)dx。

• [(*) 2-13図 棒を細片に分けて考える。]

y = 0 なので、r² = x²。

I = ∫_{-a .. L-a} (M/L) x² dx

ここで、x² を x で積分すると (1/3) x³ だから、

I = (M/(3L)) {(L - a)³ - (-a)³}

I = (M/3) {L² - 3 L a + 3 a²}

a = L/2 (軸が棒の中点にある) ならば、I = (1/12) M L²

a = L (軸が棒の端にある) ならば、I = (1/3) M L² (質量が反対側の端に集中していたばあいの 1/3。)

例2. 一様な円板

質量 M、半径 a。軸は円の中心をとおり板に垂直とする。

単位面積あたりの質量は M/(π a²)。

• [(*) 2-14図 円板を同心環に分けて考える。]

半径 r と 半径 r+dr の同心円でくぎられた円環を考える。

円環の質量は (M/(π a²)) 2π r dr = (2 M/a²) r dr。

これの慣性モーメントへの寄与は r² かける 円環の質量 = 2 M/a² r³ dr。

r について 0 から a まで積分すると

I = (2 M/a²) ∫_0..a r³ dr = (1/2) M a²。

この結果は、円筒でもそのままつかえる。

例3. 一様な球

質量 M、半径 a。軸は中心をとおる z軸 とする。

一様なので、密度は 3 M/(4 π a³)。

• [(*) 2-15図 球を円板に分けて考える。]

球を z軸に垂直なふたつの平面 (z座標の値が z と z+dz) で切り、薄い円板とする。

円板の半径は sqrt(a² - z²)

円板の質量は ρ π (a² - z²) dz

例2の結果をつかうと、円板の慣性モーメントは (1/2) ρ π (a² - z²)² dz

これを z について積分すると

I = (1/2) ρ π ∫_{-a .. a} (a² - z²)² dz

密度と質量の関係をつかうと

I = (2/5) M a²

回転半径 (73-74ページ)

剛体の質量を M、ある軸のまわりの慣性モーメントを I とするとき

I = M κ² ... (2.52)

となる κ [カッパ] ( = sqrt(I/M) ) を、(その剛体の) その軸のまわりの「回転半径」という。 たとえば、半径 a の一様な球の 直径のまわりの回転半径は sqrt(2/5) a。

慣性モーメントに関する定理 (2.9節 72-73ページ)

定理 1

ある剛体の、質量を M、ひとつの軸 [z軸とする] のまわりの慣性モーメントを I、 重心をとおりその軸に平行な直線 [z'軸とする] のまわりの慣性モーメントを I_G、 2つの軸の距離を λ [ラムダ] とすると、

I = I_G + M λ² ... (2.50)

• [(*) 2-16図 z軸とz'軸は紙面に垂直]

証明

2つの軸は、x方向に X、y方向に Y だけ離れているとする。 λ² = X² + Y²。

I = ∫ r² ρ dV

I_G = ∫ r'² ρ dV

r² = (x' + X)² + (y' + Y)²
= r'² + λ² + 2 X x' + 2 Y y'

I = ∫ r'² ρ dV + λ² ∫ρ dV + 2X ∫x' ρ dV + 2Y ∫ y' ρ dV
= I_G + λ² M + 0 + 0

(右辺第3項と第4項の積分は、質量に重心からの相対位置をかけて積分したものなので、 (2.32)式 (これは質点系についての表現だが) と同様に 0 になる。)

定理 2

薄い板状の剛体の、その1点[O とする]をとおって板に垂直な軸 [z軸とする] のまわりの慣性モーメントは、 この点をとおり板の面内にあるたがいに垂直な2本の軸 [x軸、y軸とする] のまわりの慣性モーメントの和にひとしい。

• [(*) 2-17図]

証明

板の面密度 (=単位面積あたりの質量) を σ [シグマ小文字]、 板を細分した一片の面積を dS とする。その細片の質量は σ dS である。

剛体の z軸、x軸、y軸のまわりの慣性モーメントはそれぞれつぎのようになる。

I_z = ∫ r² σ dS

I_x = ∫ y² σ dS

I_y = ∫ x² σ dS

ところが、r² = x² + y² であるから

I_z = I_x + I_y ... (2.51)

剛体の平面運動 (2.10節 74-76ページ)

剛体の重心がひとつの平面 [xy平面とする] 内を運動し、 回転軸が (空間に対して移動するが、剛体に対しては固定して) つねにこの平面に垂直であるような運動を考える。

重心の運動をきめる方程式は

M d²X/dt² = Σ_i F_ix

M d²Y/dt² = Σ_i F_iy ... (2.53)

回転は重心をとおり xy面に垂直な軸のまわりで考える。 この軸のまわりの慣性モーメントを I_Gとする。

重心のまわりの角運動量の時間変化は、重心のまわりの外力のモーメントの和である。

dL'/dt = Σ{r'_i × F_i} ... (2.41)

ここでは、L'_z = I_G dφ/dt なので、

I_G d²φ/dt² = Σ_i{x'_i F_iy - y'_i F_ix} ... (2.54)

例、斜面をころがる円板

質量 M、半径 a の円板が、 斜面 (かたむき θ) の最大傾斜方向に、すべらずにころがり落ちるとする。

• [(*) 2-18図 斜面を転落する円板]

円板にはたらく力は、重心に(地球の)重力 M g、 斜面との接点で 摩擦力 F と 垂直抗力 R。

x軸を斜面にそってくだる方向にとる。(水平方向でないことに注意。)

重心の運動の式 (2.53) は つぎのようになる。

M d²X/dt² = M g sinθ - F ... (a)

M d²Y/dt² = R - M g cosθ ... (b)

回転運動の式 (2.54) は つぎのようになる。

I_G d²φ/dt² = - F a ... (c)

F と R は「束縛力」であり、ここでは、 円板が斜面にめりこむこともすべることもなくころがるという条件 (Y = 0, dX/dt = - a dφ/dt)からきまる。

Y = 0 なので、(b) から、R = M g cosθ。

「慣性モーメントの計算」の「例2」から、I_G = (1/2) M a²。 これを (c) に代入すると、F = - (1/2) M a d²φ/dt²。

ところが、dX/dt = - a dφ/dt なので、a d²φ/dt² = - d²X/dt²。

したがって、F = (1/2) M d²X/dt²。

これを (a) に代入すると

M d²X/dt² = M g sinθ - (1/2) M d²X/dt²

したがって

d²X/dt² = (2/3) g sinθ

dX/dt = (2/3) g t sinθ

X = (1/3) g t² sinθ

cf. 摩擦がなく、ころがらずにすべるばあいは、d²X/dt² = g sinθ 。 ただし、日常の現象として斜面をすべるばあいには、摩擦が無視できないのがふつうであり、 ころがるよりも速いことはあまりない。

X = X₁ まで行ったとする (教科書の l (エル小文字) を X₁ と書いておく。)

円板の高さは、初期の位置よりも X₁ sin θ だけ低くなっている。

円板の位置エネルギーは、初期よりも M g X₁ sinθ だけへっている。

時刻は t = sqrt((3 X₁/(g sinθ)) である。

重心の運動 (剛体の並進運動) の運動エネルギーは

(1/2) M (dX/dt)² = (2/3) M g X₁ sinθ ... (d)

重心のまわりの回転の運動エネルギーは (dX/dt = -a dφ/dt なので)

(1/2) I_G (dφ/dt)² = (1/2) (M a²/2) (dφ/dt)² = (1/4) M (dX/dt)²

とくに X = X₁のとき

(1/2) I_G (dφ/dt)² = (1/3) M g X₁ sinθ ... (e)

このばあい、位置エネルギー、並進運動のエネルギー、回転運動のエネルギーの合計が保存している。

一様な円板や円筒がすべらずにころがるときは、 並進運動と回転運動の運動エネルギーの比は、2:1 である。 この比は、剛体の形によってちがう。

小課題

斜面をころがる円板の例題で、M, a の値を適当にあたえて、 時間 t を等間隔にサンプリングして、 各時刻の、X, φ、水平・鉛直の座標軸からみた重心の位置 (X cosθ, -X sinθ)、 円周上につけた印の位置 (X cosθ + a cosφ, -X sinθ + a sinφ) を表にしてみよう。 できれば、水平座標を横、鉛直座標を縦にとった平面上で、重心と印の軌跡を図にしてみよう (Excelなどの表計算ソフトウェアのグラフのうち「散布図」の機能でできるはず。)。 g は便宜上 10 m/s² としてもよい。

表計算でやる例、プログラム言語Pythonでやる例

[2021-01-06] 別ページ [斜面をころがる円板の運動の計算] にうつしました。

発展

各時刻の 重心の速度 dX/dt、角速度 dφ/dt、 並進の運動エネルギー、回転の運動エネルギー、位置エネルギーを計算してみよう。

回転せずにすべり落ちるばあい (摩擦はないとする) と比較してみよう。

(今回の小レポート課題にはしません。 次回の授業までにワークシートとプログラムの例を追加し、次回の授業で説明する予定です。 類似の問題を期末レポート課題にふくめる可能性があります。)

注意

運動方程式の数値計算では、微分を有限時間間隔の差分におきかえて近似解をもとめることがよくあります。 今回の課題はそうではなく、微分方程式のまま積分によってもとめた解 (いわゆる「解析解」) です。 プログラムあるいはワークシートでは、 解析解の式に、有限の (無限小ではない) 時間間隔で数値を代入した結果を、 有限のけた数で近似して表示しています。

実体ふりこ (2.8節「固定軸の周りの剛体の運動」 例 69-70ページ)

剛体が、重心 G をとおらない水平の固定された軸のまわりで、(地球の)重力の作用で振動している。

剛体の質量を M、慣性モーメントを I、重心から回転軸までの距離を h とする。

• [(*) 2-12図 実体振り子]

この剛体にかかる重力の〈力のモーメント〉は N_z = -M g h sinφ

したがって、角運動量 (の z軸まわりの成分) の時間変化の式 (2.47) はつぎのようになる。

I d²φ/dt² = -M g h sinφ

ここから、φが小さいばあいの近似。sin φ ≒ φとする。

I d²φ/dt² = -M g h φ

d²φ/dt² = -(M g h/I) φ

φ(t) は単振動となる。

φ(t) = φ₀ sin(ω t + α)

ただし、ω = sqrt(M g h/I)

周期は T = 2π/ω = 2π sqrt(I/(M g h))

これは、糸の長さ (I/(M h)) の単ふりこの周期にひとしい。

実際の実体ふりこには、重力のほかに、軸を固定している力がはたらいている。 ここでは、摩擦がない、したがって、軸受けが剛体におよぼす力はモーメントをもたないと仮定した。 摩擦があれば、振動は減衰する。

軸のところではたらく力は 束縛力 であって、その大きさは、運動のほうからもとめられる。 摩擦がない実体ふりこのばあい、つぎの重心の運動の方程式からもとめられる。 (x軸が水平、y軸が上向きとする。)

M d²X/dt² = F_x

M d²Y/dt² = F_y - M g

φが小さいばあいの近似 sin φ = φ、cos φ = 1 とすれば、X = h φ、Y = -h、 φ(t) は 単振動 φ₀ sin(ω t + α) となるので

F_x = -M h ω² φ₀ sin(ω t + α)

F_y = M g