フィードバックと振動

フィードバックとともに 時間についての積分が 2回 はいるシステムでは、振動がふつうにおこる。

dX/dt = a Y

dY/dt = b X ... (1)

これは1階の微分方程式を連立させたものである。 時間とともに変化するシステムの状態を知るには時間で積分する。差分近似するとつぎのようになる。 これを時刻 t = 0 から t = Δt、t = 2Δt ... と進めていくことを「時間で積分する」と考えればよい。

X(t + Δt) = X(t) + a Y(t) Δt

Y(t + Δt) = Y(t) + b X(t) Δt ... (2)

(1) から Yを消去すると、Xの2階微分をふくむ方程式にすることができる。

d²X/dt² = a b X ... (3)

aとbの積が負であるとき、(3) にはつぎのような形の解がある。ただし、振幅 X₀、初期位相 φ は任意の定数。 ω は 角振動数とよばれる量 (円運動の角速度に相当する) で、周期を t_cycle とすれば ω = 2 π / t_cycle。 振動数を f とすれば ω = 2 π f。

X = X₀ sin (ω t + φ) ... (4)

dX/dt = ω X₀ cos (ω t + φ) ... (5)

d²X/dt² = -ω² X₀ sin (ω t + φ) ... (6)

(3)と(6)を比較すると、つぎのようになる。

ω = sqrt (- a b)

このωが、このシステムの固有振動の角振動数だということができる。 -ab が大きいほど、ωは大きく、周期は短くなる。

このとき Y はつぎのようになり、X とは位相が直角 (π/2) だけずれる。

Y = Y₀ cos (ω t + φ) = Y₀ sin (ω t + π/2 + φ)

現実のシステムでは、a, b は厳密には定数ではない。したがって、振動数は変化しうる。

また、システムに、固有振動と同じではないが似た周期の強制がかかったばあい、 システムは強制の周期で振動することがある。