ベクトル解析の用語

3次元空間のベクトルを、直交直線座標 (x, y, z) で考える。

A = (A_x, A_y, A_z)。 B も同様。

ベクトルのかけざん

「・」も「×」もかけざん記号だが、ベクトルでは区別してつかう。

[内積 ・]

スカラー ← (ベクトル, ベクトル)

A・B = A_x B_x + A_y B_y + A_z B_z

A・B = B・A

A・A = A_x² + A_y² + A_z² = |A|²

[外積 ×]

ベクトル ← (ベクトル, ベクトル)

A×B =
(A_y B_z - A_z B_y,
A_z B_x - A_x B_z,
A_x B_y - A_y B_x)

|A×B| = |A| |B| sin θ

ただし、θは 2つのベクトルの方向のなす角。

A×B の方向は、2つのベクトルをふくむ面に垂直。 座標軸が右手系ならば、A を親指、B をひとさし指とすると A×B は中指の向き。

A×B = -B×A

A×A = 0

ベクトル場の微分

ここでとりあげる数量は、空間座標 (x, y, z) の関数とする。

微分演算子 ∇ [ナブラ]

∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)

[勾配 (gradient) grad]

ベクトル場 ← スカラー場

grad Φ = ∇Φ = (∂Φ/∂x, ∂Φ/∂y, ∂Φ/∂z)

[発散 (divergence) div]

スカラー場 ← ベクトル場

div W = ∇・W = ∂W_x/∂x + ∂W_y/∂y + ∂Wz/∂z

[回転 (rotation, curl) rot, curl]

ベクトル場 ← ベクトル場

rot W = ∇×W
= ((∂/∂y) W_z - (∂/∂z) W_y,
(∂/∂z) W_x - (∂/∂x) W_z,
(∂/∂x) W_y - (∂/∂y) W_x)
= (∂W_z/∂y - ∂W_y/∂z,
∂W_x/∂z - ∂W_z/∂x,
∂W_y/∂x - ∂W_x/∂y)