地図投影に関する補足 (試験問題に関連して)

2000年7月25日に地図学の試験をしましたが、そのなかで増田担当分として、 次のような問題を出しました。

世界全体あるいは半球規模の領域をあらわす地図には、 いろいろな投影法(図法)が、目的によって使い分けられている。 つまり、次のような構造の状況がある。

• 目的Aのためには、図法aは適切だが、図法bは不適切である。
• 目的Bのためには、図法bは適切だが、図法aは不適切である。

2つの目的A, Bを具体的に設定したうえで、 図法a, bにあてはまるものをひとつずつあげ、 それぞれの図法を説明しなさい。ただし

• 目的としては(帆船時代ではなく)現代に意味のあるものをあげること。
• 図法の名称をあげることは必須ではなく、 その図法を他の図法と区別できる詳しさで説明することを期待している。

また、目的Aのために図法aが適しbは適さない理由、 目的Bのために図法bが適しaは適さない理由をそれぞれ述べなさい。 なお、数式を使ってもよいが、その場合、変数あるいは定数を表わす文字 それぞれの説明を忘れないこと。

採点はすませましたが、 補足しておいたほうがよいと思ったことがあるので、ここに書きます。

「極地方を見る場合には極で地球に接する平面に投影する図法(方位図法)、 熱帯全域を見る場合には赤道で地球に接する円筒を使った円筒図法」 というような趣旨の答えがありました。 それぞれの投影法の記述が不完全だという欠点はありますが、 これはよい答えだと思います。 仮に角度が正しい(等角)図法を採用した場合、 長さや面積のゆがみは避けられませんが、その大きさをなるべく小さくする ような選択が望ましいことになります。 面積が正しい(正積、等積)図法を採用した場合は、角度(形)のゆがみをなるべく 小さくするのがよいと考えられます。 そのために、この答えのような選択は、最適とは言い切れませんが、 わかりやすい図法のうちではよい選択だと思います。

分布図のうちで、特に、人口密度のような面積あたりの量、 あるいは、森林被覆のように面積あたりの有無の情報とみなせるものについては、 面積が正しい(正積)図法が最適と言ってよいでしょう。 具体的にモルワイデ図法をあげた答えが複数ありましたが、 これは面積が正しいうえに、緯線が直線となるので同じ緯度での比較がしやすい こともメリットでしょう。 ただしモルワイデ図法では緯線の間隔は一定ではありません。

面積あたりでない量の分布図については、決め手はないようです。 表現される量が面積あたりでないことへの注意を添えながら、 正積図法を使うのが適当だと思います。

航空路の表示という目的をあげた答えがたくさんありました。 しかし、答えの内容はまちまちでした。 航空路を図に示す目的はいろいろあるので、区別する必要があります。

1. 地図上で任意の2点間を結ぶ直線が、地球の大円つまり最短距離の経路に 対応する図法は、心射図法、つまり地球の中心に光源をおいて平面に投影する 投影法です。方位図法の一種ですが、すべての方位図法がこの性質をもっている わけではありません(正射図法や正距方位図法ではだめです)。 心射図法は、投影の極から離れると、距離や面積が非常に拡大されてしまうので、 大円航路を求める目的以外にはあまり適しません。
2. ある1点(たとえば成田)からの大円航路が直線になることだけを求めるの ならば、 成田を極の代わりに使った方位図法であればなんでも可です。 ついでに距離も知りたいことが多いでしょうから、正距方位図法がよく使われます。
3. ある会社の航空路を一覧したいという目的には、特に航空路向きという わけではなく、対象地域全体の形がわかりやすい図法が使われます。 メルカトル図法をあげた答えがありましたが、 路線網が極地方を含まないという条件つきで、これもよいでしょう。
4. 1000 km以下のスケールでのナビゲーションに使われる 地図の投影法の選択は、地形図と同様です。 代表的なものとして アメリカ合衆国DMA (国防省地図庁, 現NIMA)の100万分の1航空図 Operational Navigation Chartがあるので (これは航空路を表示した図ではなく、むしろ地形図のようなものですが)、 興味がある人はこれの投影法を調べてみてください。 たぶん、極地方を除いてUTM (ユニバーサル横メルカトル)図法だと思います (と書きましたが、この予想はまちがっていました)。

物の輸出入や人の動きなどを矢印で示した主題図を作る場合も、 航空路の(3)で述べたのと同じことが言えます。

「方位」ということばが地図学では特定の意味を持っていることは 講義でも強調しておいたつもりだったのですが、 やはり答えの中に「方位が正しい」と「角度が正しい」の混同がみられました。 もう一度書いておきます。

1. 「方位」とは、自分と相手を通る大円と、 自分の位置の経線(自分と北極を通る大円)との間の角度のことです。 相手としては、地球の半径と同じ桁の距離のところを想定しています。 方位が正しい図法の代表的なものは、 自分の位置で地球に接する平面に投影するような図法です。 したがって、このような図法を方位図法ということがあります。 (ステレオ図法、正射図法、心射図法、正距方位図法はこれに含まれます。) ただし、方位図法では、投影の極(いま「自分の位置」と呼んだ点)以外の 点を基準とした方位は正しくなりません。 (2点からの方位が正しい図法も考案されているそうですが、 計算が複雑なのであまり使われていません。)
2. 風向が図上で正しく表示される、と言ったとき、それは、地図上で風向を 表わす矢印とその場所の経線(紙の縦軸ではない)との角度が、 地球上のその場所での風向に等しい、ということです。 地図学ではこの性質を「角度が正しい(等角)」といい、「方位が正しい」とは 言いません。 天気図の図法の選択では、この角度の正しさが最優先となります。 また、地形図の図法の選択でも、角度の正しさを厳密に満たし、 長さや面積の正しさは近似的に満たすようなものが選ばれることが多いです (現在の日本の地形図の選択はそうなっています)。
3. 日常用語で「方位が正しい」というとき期待していることは、 各点で、地上の北向きが紙の上で上向き、 東向きが右向きになっていることかもしれません。 ここでの「北向き」「東向き」は(1)で述べたような遠距離の方位ではなく、 (2)の風向の場合のようにローカルな角度に対応するものとします。 この性質は、地図学では「方位が正しい」とも「角度が正しい」とも言わず、 特定の名前はついていないようです。 この性質は、赤道を基準とする円筒図法 (赤道に円筒をまきつけて投影して得られる結果に、縦軸だけについて 適当な変換を行なって得られる図法)ならば満たすことができます。

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