内挿は(空間や時間の座標について)観測値のある点でかこまれた中にある点での値の推定をさし、 外挿は観測値のある点でかこまれた領域の外の点での値の推定をさす。 対象となる変数の分布がなめらかな場合、 内挿問題ではどんな方法を使っても結果は大差ないことが多いが、 外挿問題では方法によって結果が大きく違うので注意が必要である。
内挿・外挿の方法はいろいろあるが、 次のような種類のものを理解しておくとよいと思う。
いちばん簡単なところで、2つの観測点x1, x2での値f1, f2からその中間の点xGでの値を推定することを考えると、 グラフ上で(x1, f1), (x2, f2)を通る直線上でx = xGとなるところのfの値を採用することが自然に考えられる。 この方法を線形内挿(linear interpolation)という。 (ここでlinearの意味は線であることではなくまっすぐであることなので、 「直線内挿」のほうが意味を的確に表わしているが、「線形」が慣用の用語である。)
線形内挿は2点を通る1次関数という関数を使って2点間をつないだものと みることができる。 同様に、n点を通る(n-1)次関数を使った多項式内挿が考えられる。 ただし、観測値に適用する場合、あまり次数の高い多項式は適当でなく、 区間を区切って比較的次数の低い多項式を適用する。 区間のつぎめで微分(傾き)が一致するなどの条件をつけた区間別多項式の組み合わせを スプライン(spline)関数といい、内挿によく使われる。 ただしスプラインはもともと弾性をもった曲線定規のことを言い、 その曲線は多項式よりも区間別の指数関数を含む式に近いので、 そのような式をスプライン関数ということもある。 周期現象では三角関数(サイン・コサイン)による内挿もよく使われる。
ここまで考えてきた内挿(狭い意味の内挿)は、 観測のある位置で内挿結果を求めると観測値に一致するようなものである。 しかし観測値に誤差があることを考えると、 推定結果の誤差(の期待値)を小さくする内挿方法は、 個々の観測値に一致するものがよいとは限らない。 むしろ、観測値のそばを通るが、厳密には一致しない関数を考え、 観測値と関数値のずれを評価してそのずれの小さいものを選ぶほうがよい。 このような方法をここでは「関数のあてはめ」と呼ぶことにする。 関数としては直線、多項式、スプライン関数、三角関数、 球面上では「球面調和関数」などがよく使われる。 ずれの評価方法として、「差の2乗の合計を最小とするものを選ぶ」とした ものが最小2乗法である。 「差の絶対値の合計を最小とする」というのもひとつの合理的基準なのだが、 実際の計算が最小2乗法よりもむずかしい。
1次元の線形内挿はまた、2点の観測値を、値を求めたい点とそれぞれの観測点との距離によって決まる重みをつけて平均する方法とみなすことができる。 このように考えるとすなおに2次元に拡張することができる。 ただし、2次元の場合、対象の変数が空間的になめらかであると仮定できるならば、 重みは距離が大きくなるほど小さくなると考えることはできるが、 具体的な関数の形は合理的には決まらず、 対象となる量に関する経験によって決めるしかない。
重みを決める合理的考え方(実際の数値は経験によるが)として、 「内挿結果の誤差の期待値が最小となるように決める」というものがある。 このような方法を「最適内挿法」(optimum interpolation)という。 この用語は「(ある意味で)最適な結果を選ぶ方法」という意味であり、 「最適な内挿方法」という意味ではない。 地質・地下探査の分野でクリーギング(kriging)というのはKrigeという人の名前に ちなんだものだそうだが、最適内挿法と同じものと考えてよい。