大気と海洋の大規模な運動にかかわる力

大気や海洋はどういう流体か

地球の重力のもとにある薄い層である。鉛直(上下)方向と水平方向の性質が違う。 鉛直方向には近似的に静水圧のつりあいが成り立つ。

自転する地球の上にある。 大気や海洋の運動には、自転のうち各地点の天頂方向の軸のまわりの回転(高緯度で大きく低緯度で小さい)がきく。 自転の効果は、持続する運動のパターンが決まるうえで重要である。

(ニュートンの) 運動方程式

• (Newtonが1687年の著書で幾何学的に定式化した運動法則を、 その約1世紀後の人たちが微分方程式の形で定式化しなおしたもの。)
  • 合計の力[3次元ベクトル] = 質量 × 加速度[3次元ベクトル]
  • (加速度は位置の時間による2回微分)
• 気象学では、単位質量あたりで考えることが多い。
  • 加速度 = 合計の力 / 質量
• 運動方程式は本来、座標系が慣性系である(雑に言うと、 宇宙空間全体に対して静止または等速直線運動している)ことが前提。 慣性系に対して回転している(たとえば地球とともに自転している)座標系では、そのままでは成り立たない。 (見かけの力を追加すれば成り立っているかのように扱うことができる。)

大気や海洋の運動にかかわってくるおもな力

• 実際の力
  • (地球の)重力
  • 圧力の空間的違いによる力。 圧力を空間座標で微分したものを圧力勾配または圧力傾度というので、 この力は圧力傾度力(大気の場合、気圧傾度力)と呼ばれることが多い。
  • 摩擦力。 流体内部の摩擦は粘性ともいう。 速度の空間的違い(空間座標による微分)にほぼ比例する。 大気や海洋では、境界面つまり地表面(地面や海面)や海底面に近いところでは無視できないが、境界面から離れたところでは無視できることが多い。
  • 分子間力 ... 地球大気の場合はふつう無視してよい (ただし水の凝結過程では問題になる)。
• 見かけの力 ... 回転している座標系で見て加速度がないことを力の合計が0であるとみなすために仮定する力。
  • 遠心力 (ただし、地球の自転の遠心力はふつう重力に含めて考える。)
  • コリオリ(Coriolis)の力

圧力について

• 応力(stress): 物体の境界面で互いに働く面積あたりの力。 連続の物体に仮想的に考えた面の両側についてもいう。 面に垂直な成分と、面に平行な成分がある。
• 流体(気体や液体)の場合は、応力の構造が固体の場合よりも簡単になる。 流体が止まっている場合、その内部に仮想した面に働く応力は 面に垂直な成分だけになる。 また、流体の中のある場所に働く応力の、面に垂直な成分の値は、 どちら向きの面を考えても同じになる。 この値を「圧力」という。 圧力の次元は面積あたりの力、国際単位はパスカル(Pa) = N / m² (ニュートン毎平方メートル)。
• 気圧とは空気の圧力、水圧とは水の圧力のことである。 気圧の単位としてはヘクトパスカル(hPa, 100 Pa)を使う習慣がある。 これはそれ以前に使われていたミリバール(mb)という単位と等しい。
• 2つの平行な面に働く圧力の差を面の間の距離で割ったもの、 あるいはその距離を小さくした極限(つまり圧力の空間座標による微分)を、 圧力勾配あるいは圧力傾度という。 これは体積あたりの力に相当する。 これをそこにある物質の密度で割ると、質量あたりの力になる。
• 鉛直方向の圧力傾度力については、 [「地球の水と空気はどこにどれだけあるのか」の中の静水圧のつりあいの話]も参照。

自転している座標で働くみかけの力

円運動の遠心力

円運動する物体(質量m、半径r、角速度ω)を考える。 加速度は、常に円の中心に向かっている。 半径方向外向きの運動方程式は

実際の力 = - m r ω²

ωで回転する座標で考えると、この物体は「止まっている」。 力のつりあいで考えるためには、

実際の力 + m r ω² = 0

ここでつけ加わったm r ω²が「遠心力」。

地球の自転Ωと、それに相対的な回転ωがある場合

仮に回転軸の向きが同じだったとして、 ひとまず、(Ω + ω) で回転している(地球に固定していない)座標系で考えると、 遠心力は (Ω + ω)²に比例する。 これを展開するとΩ² + 2 Ω ω + ω²となる。

気象・海洋力学では地球とともに回転している(地球に固定した)座標系で考えるので、 これにあたるものは、次のように扱われる。

• Ω²の部分 ... 地球の自転の遠心力。 質量あたりの値が同じ緯度にあるすべての物体に共通なので、 重力に含めて扱う。
• ω²の部分 ... 地球に相対的な回転の遠心力。 地球に固定した回転座標系で考えたときは現われない。 (回転運動の向心力となる実際の力は現われる。)
• 2 Ω ωの部分 ... 地球に相対的な運動に対する地球の自転の効果。 地球に固定した回転座標系で考えたときは、コリオリの力として現われる。

現実には、自転の軸と、相対的な回転の軸が違う。 大気・海洋の相対的な回転は、ほぼ、それぞれの地点での天頂方向の軸のまわりの回転である。 したがって、地球の自転のうちで、天頂方向の軸のまわりの成分がきく。 地球の自転角速度をΩ、緯度をφとすると、 上の段落の議論での Ω を、Ω sin φで置きかえるとよい。

コリオリの力は、運動の向きを変えるが、速度の大きさを変えない。

コリオリの力の向き

北半球では、上から見て、右向き(南半球では逆) [これを暗記しようとするのはうまくない。] 赤道上では0。

赤道から極に向かう流れ(北半球では南風、南半球では北風)を、 東に向かう流れ(西風)に変える向きに働く。[覚えるならばこちらを。]

(大まかには、地球の自転は西風と同じ向きなので、 もし赤道から離れる空気の塊が回転しない座標系に対する速度東西成分をたもつとすれば、 地球に対する相対的な西風の速度を得る、と考えることができる。 ただしこれを定量的に精密に計算するためには、「角運動量の保存」を考える必要がある。)

大気や海洋の大規模空間スケール(約100 km以上)の運動にかかわるおもな力