まず、数理的な立場で、日射の時系列を入力とし氷の量の時系列を出力とする ブラックボックスとして気候システムを考えてみよう。入力信号を二つ重ね合 わせたものに対する応答が別々に計算した応答のたし合わせと等しいようなシ ステムを線形系という。線形系には振幅の変化、位相のずれのほか、時間に関 する微分操作、積分操作が含まれてもよい。たとえば積分操作は、入力信号を 周波数成分に分け(フーリエ展開し)、長周期ほど絶対値が大きな複素数の重 みをつけてたし合わせたものと考えることができる。ともかく、線形応答であ る限り、出力の卓越周期は入力信号に含まれた周期でなければならない。
今の場合、入力である日射量に大きなパワーのない10万年周期が出力である 酸素同位体比のスペクトルに大きなピークとなっていることが問題である。入 力信号にも10万年周期成分はeの2次の項としてあることはあるので、
そこで、
ここでは比較的直観に訴えやすい(c3)について考えてみる。e sin _pi_ の時系列（図3）を見て、AM (振幅変調)の ラジオの原理の説明図を思い 出す人は少なくないと思う。AM変調にもいろいろな変形があるが、基本は 次のようなものである (Connor, 1982)。 角周波数(= 2π×周波数) ωm、 振幅Vmの信号(図11a)を、角周波数ωc、振幅Vcの「搬送波」で送る場合、変調された信号(図11b)は
(Vc + Vm sin ωmt) sin ωct = Vc sin ωct + (Vm/2) cos (ωc - ωm) t - (Vm/2) cos (ωc + ωm) tとなる。パワースペクトルは図12aのように、搬送波のピークωc (= 2 π fc)を中心として両側にωcだけずれたところに同じ大きさのピーク が出る。角周波数ωmのところにはピークはない。これを入力としてもとの信 号波形を取り出すのには、よく知られているように、入力を「整流」し、平滑 化してやればよい。整流の理想的な形には、入力が正の部分だけを残し、負の 部分を0で置きかえる「半波整流」と、入力の絶対値をとる「全波整流」があ る。整流された時系列を周波数分析すれば、信号波の周波数ωmと搬送波の周 波数ωcの両方にピークがある。平滑化は、ωc付近の周波数成分のパワーを (ωm付近に比べて相対的に)落とすためのものである。
e sin _pi_の時系列は、典型的なAM変調とは違っている。sin _pi_ だけを とっても1.9万年、2.3万年の周期成分からなっており、単純な「搬送波」とは みなせない。しかし、図9の破線と同じように、e sin _pi_ の曲線の包らく 線をとれば、ほぼeの曲線が取り出せる点では、一種のAM変調とみなすこと ができる。したがって、整流器に似たなんらかの非線形フィルタがあればeの 信号を取り出すことができる。実際、 Wigley (1976)は、「入力信号を2乗す る」というフィルタ操作を使い、1.9万年と2.2万年の重ね合わさった時系列を 入力として、出力信号のスペクトルに10万年周期が含まれることを示した。
ではこのような非線形効果を作り出すメカニズムはなんだろうか。 Imbrie and Imbrie (1980)は、 氷床の成長にくらべてその崩壊は速いという海底コア の時系列にみられる特徴を背景とし、氷床は成長期と崩壊期で外力に対する 応答時間が違うと考えた。
彼らの考えた0次元モデルは次のような緩和型のものである（表記を変えた）。
ｄＩ １ −− ＝ − − （Ｉ − Ｉ ） ｄｔ τ eqIは全世界の氷の量を想定した変数である。Ieqは外力であり、本来は日射量 を想定しているが、ここでは日射量を固定して与えて定常状態（d I / d t = 0) となったときの氷の量という形にしている。τは系の応答の時定数だが、 これを、d I / d t が正のときと、負のときで違う値の定数とする。彼らは、 Ieqとして、ある緯度の日射量曲線（を適当な定数倍したもの）を与え、出力 がなるべく海底コアのδ18Ｏ曲線に近くなるように、パラメタτを適当に tuningした結果を示している。また、 Snieder (1985)は、同じモデルで、 1.9万年と2.2万年の正弦波から10万年周期が作れることを示した。 しかし難点としては、