[ Berger(1984), 堀編(1981), 若生編(1979), 中沢編(1979)を参考にした。]
まず公転を考える。天体としての地球の運動は、質点の力学でよく近似できる が、それに作用する力は、太陽の重力のほか他の惑星の重力もある。したがっ てその予測問題は多体問題となり、厳密にはとけない。しかし幸い、太陽の 質量が惑星の質量よりもずっと大きいので、地球の運動は短期的には太陽・ 地球の2体問題の解であるKepler運動であり、そのパラメタが他の惑星の影響 でゆっくりと変化するという取り扱い(摂動法)ができる。 Keplerの法則に 従った運動といっても自由度があり、1つの具体的な運動を指定するには、6 個のパラメタを指定する必要がある。たとえばある時刻の惑星の位置と速度の それぞれ3次元ベクトルの成分を指定してもよい。ただし天文学では、次の要 素を使う習慣がある。i以下は、図13のように、太陽を中心とする天球(単 位半径の球)の表面での位置の指定である。なお、Kepler運動は双曲線、放物 線を含むがここでは楕円の場合に限る。
いっぽう、地球上の季節を決めているのは基本的に地軸が公転軸に対して 傾いていることである。したがって気候に対しては、iが直接効くのではな く、地軸と公転軌道の軸のなす角ε (obliquity: ここでは「地軸の傾き」 と呼んでおく。赤道面と黄道面のなす角と言ってもよい)の変化を通して問 題になる。また、近日点黄経についても、慣性系に対する方向ではなく、地 軸の傾く方向を反映したそのときどきの春分点を基準とした近日点の方向を 表わす「動く春分点に対する近日点黄経」_pi_が問題になる。
_pi_、εの変化には地球の自転の変化も関係してくる。自転は角速度 (軸性)ベクトルの3成分、あるいは、角速度の大きさと、自転軸の基準軸 (たとえばある時点の自転の軸)からの傾きと方位角の3要素で指定できる。 これらの要素が太陽、月および他の惑星の引力によって変化する。実際の 自転軸は、地球の形で決まる慣性モーメントの軸のまわりをゆれているので、 長期の変化を論じる場合にはこの「形の軸」(ここでは地軸と呼ぶ)の動き を記述すればよい。太陽と月の重力の効果による地軸の方向の変動は「章動」 と呼ばれ、半年、1年、18.6年などの周期をもつが、周期成分を平均して しまうと残るのは「歳差」(precession)と呼ばれるものである。これは、 地軸が公転軌道の軸のまわりを、傾きを一定として、方向を変えていくもの である。この結果、春分点の慣性系での方向がずれていき、約2.58万年で 1周する。これがΠと_pi_の差を作る。動く春分点を基準とした近日点の 黄経_pi_は約2.17万年で1周する。これはΠの変化と歳差の組合わさった 結果だが、歳差のほうが量的に大きいので、これを「気候的歳差」と呼ぶ ことがある。一方εの変化は、公転軌道面の傾きiの変化が、歳差によって 動く赤道面に投影されたものである。(現代の観測によるεの変化には、 これで説明できない残差があるが、その原因が明らかになっていないので、 長期変動の計算に含めることはできない。)
実際に、軌道要素の長期(公転周期に比べて長い時間スケール)の変化を 扱う場合には、軌道の内で惑星がどの位置にあるかに依存する相互作用の 項を平均してしまった式で計算する「永年摂動法」が使われる。これは、 上のＴに関する情報を無視したことに相当する。なお、月が地球と一体で ないこと、および相対論的効果は、第1近似では無視できるが、近似の精度 を高めるときには問題になる。惑星の摂動によっては、aは変化しない。 求めるべき変数は｛e，ω，i，Ω｝であるが、計算精度などの理由で、 {e sin Π，e cos Π，sin i sin Ω，sin i cos Ω}の時間変化の式にしておき、 この4つの変数の時間変化がそれぞれ比較的少数の三角関数の項の和 (e sin Π＝Σ Mj sin (gj t + βj) のような形))で表わせると仮定して その係数を求めるという方法をとる。求められた4つの変数の式を変形して、 日射量の式に現われる｛e，e sin _pi_，e cos _pi_，ε｝を三角関数の項 の和の形で求める。(したがって、これから計算した季節平均日射量の パワースペクトルは原理的に、比較的少数の線スペクトルの集まりになる。 多くの論文で示されている幅のあるスペクトルは、有限時間で打ち切った サンプルを通常の時系列解析で処理した結果である。) Berger(1988)の見積もりによれば、 Berger(1978)に示した軌道要素の 計算は、時系列としては、現在からe sin _pi_・e cos _pi_について 150万年、eについて3百万年、εについて4百万年程度さかのぼって 信頼できる。また、三角関数に展開した周期を論ずる(位相がずれてもよい) 場合は、少なくとも5百万年前までの議論に使えるということである。 それよりも古い時代については、これまでの計算で無視してきた、複数の 惑星の複合効果(木星と土星の有名な930年周期は考慮済みだが、それ以外) や、展開の高次の項がきいてくる可能性があるということである。