続いて、次のように (2-1)に「熱源」を与えた場合を考えてみる。
C (dT/dt) = Qs - I + δ H(t) (2-10)ただしδはQs、Iに比べて小さな定数とし、Hは
H(t) = 0: t < 0 H(t) = 1: t ≧ 0という階段関数である。上と同様な計算をすれば、
d(ΔT) / dt = -λ ΔT(t) + δ/ C (2-11)
ΔT(t) = ΔTeq {1 - exp(-λt)} (2-12)となる。ただしΔTeq = δ/(Cλ)は、最終的な平衡解の初期の平衡解からの 変位であり、これが微小であることがこの解析の前提となっている。解は、 T = T0 + ΔTeqに向かって、時定数(1/λ)で緩和していくものである。
ここで、δが太陽定数の変化ΔSからもたらされるものとすれば、
δ = (ΔS/4) (1 - αp ) = (ΔS I) / S (2-13)であり、気候感度βは、
β = S (ΔTeq / ΔS) = I /(C λ) (2-14)と書くことができる。C、Iは正であるから、 2.2.4節の議論と結びつけると、