ベクトル

ベクトル (vector)

数学でいうベクトルは、ベクトル空間の公理をみたすものであればよく、いろいろな内容のものがありうる。ベクトル空間の公理には、ベクトルどうしのたしざんに関するものと、ベクトルのスカラー倍に関するものがある。

スカラー (scalar) は、ベクトルとの対比では、単なる数である。ふつうは実数である。複素数のばあいもあるかもしれない。

わたしはベクトル空間については教えられるほどよく知らない。

数学のうち線形代数にかぎれば、ベクトルは、一定個数の、順序が指定された、数の組である。ベクトルどうしのたしざんと、ベクトルのスカラー倍ができる。

線形代数で m行 n列の行列 (matrix) がでてくるばあいには、ベクトルは、1行 n列、または m行 1列の行列と同じとみなされることがある。

物理でのベクトルは、方向と大きさとをもつ量である。

古典物理学では、3次元空間に対応した 3成分のベクトルをつかう。

現象が平面内のばあい、あるいは、ある方向 (z方向とする) には一様とみなせるばあいには、 2次元平面に対応した 2成分のベクトルをつかうこともある。

(相対論では、4次元時空に対応した 4成分のベクトルをつかうことが多い。)

(教科書 3ページの論によれば) ベクトルは、そのたしざんが「平行四辺形の法則」にしたがうものである。 (たぶん、あとでのべる成分別のたしざんができることと同じこと。)

方向と大きさをもつ量がすべてベクトルではない。たとえば、3次元空間内の物体の回転操作は、ベクトルで表現できない。 (その数学的表現には「テンソル」などの概念が必要になる。)

「変位」はベクトルである。質点が P₁ から P₂ に移動したとき (どれだけの時間をかけて移動したかは問わない)、 P₁からP₂までの距離と方向からなる変位ベクトルを考えることができる。

点Pの位置も、原点OからPまでの距離と方向からなる位置ベクトルと考えることができる。

位置ベクトルは起点 (座標の原点) をうごかせない特殊なベクトル(「束縛ベクトル」ということがある)である。変位ベクトルなどは、起点を変えてもかまわないベクトル (「自由ベクトル」ということがある)である。

位置ベクトルに変位ベクトルをたすことはできる。結果は位置ベクトルになる。

(教科書では) ベクトルを太字で表現する。同じ文字の細字は、そのベクトルの大きさ (非負の実数) をあらわす。なお、ベクトルの大きさは、絶対値記号で表現することもある。

ベクトルに実数 (aとする) をかけたものは、 a が正のときはもとのベクトルと同じ向き、負のときは逆向きである。

3次元空間の直交直線座標のもとで考える。

x, y, z のそれぞれの軸の正の方向にむかう、大きさ 1 [物理量の次元は無次元つまり 1] のベクトル i, j, k を「単位ベクトル」という。

ベクトル A を、つぎのように分解することができる。

A = A_x i + A_y j + A_z k ... (1.2)

ここで、A_x, A_y, A_z は、それぞれ実数であり、ベクトル A の x成分、y成分、z成分といわれる。

ベクトルの大きさと成分との関係は、三平方の定理によって、教科書 5ページの式 (1.3) のようになる。

ベクトルのたしざんは、成分ごとにたせばよい (教科書 5ページの式 1.4 a,b)。

ベクトルのひきざん A - B も、成分ごとにひけばよい。 Bの向きを反対にしたもの、つまり、B に -1 をかけたものを「-B」とすれば、 A - B = A + (-B) である。

ベクトルのスカラー(実数)倍は、成分ごとにスカラーをかければよい。ただし、スカラーの値が負であるとき、結果のベクトルの向きはもとのものと逆になる。

[(*) 5ページ問] (まだ速度について説明していないが、ここでは速度がベクトルで表現できることを仮定して考えよう。)

2021-09-22
増田耕一 (MASUDA Kooiti)