ウェブページ用の HTML言語の制約によって、このページの数式は、 のぞましくない形で表現されているところがある。 これまでの回の教材ページでのべたとおり。
運動方程式は、力と加速度の関係をのべているのだが、 これを、力が原因、運動が結果であるようにとらえられることが多い。
しかし、力の原因をさかのぼって考えて力の大きさや向きをきめることは困難で、 運動のほうからどのような力がはたらいているのか推測しているばあいも多い。
たとえば、地球上の ある場所で、水平な机の面の上に 質量 m の本が置かれて静止しているとする。 本には あきらかに地球の重力がはたらいている。 重力加速度を g とすれば、下向きに m g である。 (なお、ここで「水平」とは、重力の方向に垂直ということである。)
本が静止しているのだから、 本にはたらく力の (ベクトルとしての) 合計は 0 である。 したがって、重力以外に、上向きに m g の力がはたらいているはずだ。 すなおに考えると、机が、本に、上むきの力をおよぼしているはずだ。
一般に、変形しにくい面をもつ固体は、その面に接した物体から力をかけられると、 それと逆向きで面に垂直な方向の力を物体におよぼす、と考えてよいことが多い。 この力を「垂直抗力」という。
垂直抗力が発生するしくみは、特定されていない。 ひとつの可能性としては、机を構成する物質が、わずかに変形して (へこんで)、 弾性によって復元しようとすることによって、物体を押すのかもしれない。
この例のばあい、重力と垂直抗力とは、大きさが同じ、むきが反対で、 合計が 0 となる。
(この授業では「質点系」のところであつかう予定だったのでまだ説明していなかったが) ニュートンの運動法則の第3は「作用・反作用の法則」である。 そこでは、作用と反作用が大きさが同じで向きが反対である、ということを言っている。 しかし、上の例の重力と垂直抗力は、作用と反作用ではない。
「作用・反作用」とは、 物体Aが物体Bに力をおよぼしているばあいには、同時に、物体Bが物体Aに力をおよぼしていて、 その大きさは同じで向きが反対である、ということである。
たとえば、地球が本におよぼす重力の反作用は、本が地球におよぼす重力である。
作用と反作用を合計すると 0 になるおかげで、 物体Aと物体Bをひとまとめにあつかうときは、 物体Aと物体Bとのあいだにはたらく力を省略して考えることができる。
斜面上に置かれた直方体の物体を考える。物体の質量を m、斜面の傾きをφとする。 (水平面ならば φ = 0 である。)
ひとまず、物体が静止しているばあいを考える。
物体には、下向きに重力 m g がはたらいている。 重力の斜面に垂直な成分 (法線成分) の大きさは m g cos φ、 斜面に平行な成分 (接線成分) の大きさは m g sin φである。
物体には、斜面からの垂直抗力がはたらく。 そのむきは斜面に垂直であり、重力の斜面に垂直な成分とつりあうものになるので、 その大きさは m g cos φ である。
物体が静止しているときには、物体にはたらく合力が 0 だから、 物体には、重力と垂直抗力のほかに、斜面にそって上向きの力がはたらいているはずだ。 それは、重力の斜面に平行な成分とつりあうものになるので、 その大きさは m g sin φ である。 この力は、斜面での摩擦によってつくられると考えられるので、「摩擦力」とよぶ。 とくに、静止しているときの摩擦力なので「静止摩擦力」とよぶ。
斜面上に置かれた直方体の物体が、動きうるとする。 しかし、斜面にめりこんだり浮き上がったりはせず、斜面にそって動く。 (この物体の運動の軌道は、斜面によって束縛されている。) また、転倒したりころがったりせず、同じ面を斜面に接したまますべるとする。 (この条件をおくことによって、この物体の運動は質点の運動と同様にあつかえる。)
重力 m g、垂直抗力 m g cos φは、静止しているばあいと同様である。
斜面にそって上向きにはたらく摩擦力は、一般には、重力の斜面に平行な成分とつりあっていない。 摩擦力の大きさは、(基本法則ではなく経験則として) 斜面と物体が押しあう力に比例する。 いまのばあい、押しあう力は、重力の斜面に垂直な成分と 垂直抗力であり、 そのどちらの大きさも m g cos φである。 そこで、摩擦力の大きさは、μ m g cos φ と書ける。 この μ は「(運動)摩擦係数」という無次元量で、 斜面とそれに接した物体の面の材質や(ミクロにみた)形状によってちがいうる。
斜面にそって下るむきの距離を s とすれば、その方向の運動方程式はつぎのようになる。
m d2s/dt2 = m g sin φ - μ m g cos φ
m を消去し、g のかかる項をまとめると
d2s/dt2 = g {sin φ - μ cos φ}
右辺が一定なので、この運動は等加速度運動であり、速度 (v とする) は時間の1次関数、 (斜面上の)位置は時間の2次関数となる。
初期条件として、時刻 t = 0 で、s = 0, v = 0 とすれば
v = g {sin φ - μ cos φ} t ... (1.34a)
s = (1/2) g {sin φ - μ cos φ} t2 ... (1.34b)
運動エネルギーは
(1/2) m v2 = (1/2) m g2 {sin φ - μ cos φ}2 t2 = m g {sin φ - μ cos φ} s
ここで、物体がされる仕事を考える。 物体の変位に垂直な力は仕事をしない。 仕事をするのは変位に平行な力 m g sin φ - μ m g cos φ である。 物体が sA から sB まで動いたのならば、 いま、力の大きさは一定なので、 物体がされた仕事は、(m g sin φ - μ m g cos φ) (sB - sA) である。 (力が一定でないときは、微小な変位ごとにそのときの力をかけて積分する。)
仕事と運動エネルギーを見くらべると、 された仕事のぶんだけ運動エネルギーが増加している。
もし摩擦がなければ、重力がした仕事がそのまま運動エネルギーの増加になる。 摩擦があると、摩擦力が負の仕事をするので、そのぶん運動エネルギーの増加が少なくなる。
静止摩擦力も、(基本法則ではなく経験則として) 斜面と物体が押しあう力に 摩擦係数をかけたものと考えられる。 静止摩擦係数の値は、運動摩擦係数よりも大きくなりうる。
斜面とそれに接した物体の面の材質や形状によってきまる最大静止摩擦係数があって、 重力の斜面下向き成分が、押しあう力に最大静止摩擦係数をかけたものよりも大きくなると、 物体は静止していることができず、すべる。
水平との角が 12°の斜面上に静止していた物体を下向きにちょっと押したら、 それからずるずると ほぼ等速度で斜面をすべり下ったという。 運動摩擦係数はおよそいくらか。 小さい角 θに対しては tanθ = θ[ラジアン] としてよい。
「ほぼ等速度」であることから、(運動)摩擦力の大きさは、重力の斜面に平行な成分とほぼ等しい。
動いている物体どうしの界面での摩擦力には、 両物体の速度(ベクトル)の差がきき、それぞれの物体の速度自体はきかない。
【授業中に見せたページでは、摩擦力は速度の差に摩擦係数をかけたものだと 書いていたが、それはまちがい。】
流体内部の摩擦は、粘性といわれる。教科書では、第3章 3.10節「粘性と抵抗」であつかっている。 粘性は、速度勾配 (速度の空間座標による微分) に粘性係数がかかった形になる。 流速自体はきかない。
(斜面とは別の束縛運動の例)
糸の張力のむきは、つねに速度に垂直、つまり微小時間ごとの変位に垂直である。 したがって、糸の張力は、ふりこのおもりの運動に束縛をあたえるが、おもりに仕事をしない。
![[1-20図 斜面上の物体にはたらく力]](zu/zu1_20.png){kind=link}