単振動、単ふりこ (単振動による近似)

[注] 数式には、分数、あるいは微分記号などの分数と同様な形のものが多数あらわれます。 分数は横線の上に分子、下に分母をかく形が標準的です。 しかし、ウェブページを構成する HTML という言語では、 横線をつかった分数をかくことがむずかしいです。 それで、わたしの教材ウェブページでは、「 y / x 」のように、分数を、 斜め線の前に分子、後に分母という形でかくことが多くなっています。 教科書などを参照して、横線の形に書きかえたものをつかいなれるようにしてください。 なお、斜線をつかった形式で必要な かっこ のうちには、 横線をつかった形式では不要になるものがあります。

単振動 (教科書 1.7節)

直線上の運動を考える。

質点に、一定点からの距離に比例する引力が働くとする。 (比例定数 k, k > 0、k の 物理量の次元は「力/距離」、SI単位は N/m 。)

その定点を座標の原点とし、直線をx軸とする。

運動方程式はつぎのようになる。(負の符号に注意。力は位置ベクトルと逆向きである。)

m d²x/dt² = -k x ... (1.16)

両辺を m でわると

d²x/dt² = -(k/m) x

ここで、k/m = ω² とおきかえる。ω = √(k/m) である。

d²x/dt² = -ω² x ... (1.17)

この解は、つぎのように書ける。ただし、C と φはかってな定数。

x = C sin(ω t + φ) ... (1.19)

これが式 (1.17) をみたすことは、代入してみればわかるが、 もうすこし一般的に (1.17)をとくには、複素数の指数関数で考える。

指数関数の形を仮定して解をもとめる

x = exp(p t) と 仮定する。

指数関数の基本的性質 d exp(x)/dx = exp(x) と、合成関数の微分から

dx/dt = p exp(p t)

d²x/dt² = p² exp(p t)

これと(1.17) から

p² = -ω²

したがって

p = ± i ω ただし i は単位虚数

そこで、(1.17) の 解はつぎのように書ける。

x = A₁ exp(i ω t) + A₂ exp (-i ω t)

exp(±i ω t) = cos ω t ± i sin ω t [複号同順] をつかって書きなおすと

x = (A₁ + A₂) cos ω t + (A₁ - A₂) i sin ω t

ここで、x が実数であるという条件をつけると、A₁とA₂とは複素共役でなければならない。 あらためて、A₁ + A₂ = A, (A₁ - A₂) i = B とすれば

x = A cos ω t + B sin ω t ... (1.18)

ここで、C = √(A² + B²), tan φ = A/B とすれば、(1.19) になる。

[(*) 1-13図]

単振動の用語

単振動: x = C sin(ω t + φ) の形であらわされる運動

振幅: C

角振動数: ω

振動数: ν [ニュー] = ω/(2π)。量の次元は 1/時間、SI単位は (1/s) = Hz [ヘルツ]。

周期: T = 1/ν = 2π/ω

位相: ω t + φ

初期位相: φ

例

初期条件 t = 0 で x = a, dx/dt = 0

(1.18)式に t = 0 を入れると、A = a 。

(1.18)式を t で微分すると

dx/dt = -A ω sin ω t + B ω cos ω t

ここで t = 0 を入れると 0 = B ω、したがって B = 0

解は x = a cos ω t となる。

17ページ末の「問」の答えの考えかた

振幅 C、周期 T ならば、角速度 ω = 2π/T 。 速さの最大値は C ω。加速度の最大値は C ω²。

単ふりこ (単振動による近似) (教科書 1.8節)

重力加速度 g が一定の重力が下向きに働いていることを前提とする。

一端を固定した糸の他の端に質点をつるし、鉛直面内で振動させる。

[(*) 1-14図]

質点の位置を、最下点を原点として、円弧上の長さ s であらわす。 (最下点から右側で sが正、左側で sが負と約束する。) 糸の長さを L 【教科書では小文字のエルだが、このウェブページでは大文字のエルにした】, ふれの角 (正負の符号つき) をθとすれば、s = L θ である。

速度は ds/dt、加速度の接線成分は d²s/dt² 。

質点に働く力は、重力と、糸の張力 (固定点にむかう) があるが、 接線成分は重力からくる -m g sinθ である。

運動方程式はつぎのようになる。

m d²s/dt² = -m g sinθ

これを正しくとくには、楕円関数という関数が必要になる。

θが小さいばあいの近似

θが小さいばあいには、sinθ ≒ θ という近似がつかえる。 (ただし、この右辺のθは、ラジアンであらわしたもの。) すると、

d²θ/dt² = -(g/L) θ ... (1.20)

これは、g/L = ω² とすると、単振動 (1.17) と同じ形の式になる。 一般解は、θ₀とφをかってな定数として、つぎのようになる。

θ = θ₀ sin(ω t + φ), ただし ω = √(g/L) ... (1.22)

周期は、T = 2π√(L/g) であり、 これは 振幅θ₀ が小さいという近似がなりたつかぎりでは、振幅θ₀ の値によらない。 これが、「ふりこの等時性」といわれる性質である。 θ₀ が大きくなって、sinθ ≒ θ がなりたたないと、周期はいくらかちがってくる。

θが小さいばあいの近似はどの程度なりたつか

このような表は、Excelで、A列に数値を入れ

• セル B2 に =A2*pi()/180
• セル C2 に =sin(B2)
• セル D2 に =C2/B2
• セル E2 に =tan(B2)
• セル F2 に =E2/B2

の数式をそれぞれ入れたうえで、 B2:F2の数式(数値ではない)をその下の複数の行にコピーしてつくることができる。 なお、B列からF列までのセルの書式を「数値、小数点下のけた数 6」とした。 (上に引用した表は、そのワークシートを html でエクスポートしたうえで いくらか編集したものである。)

また、ほぼ同様な表 (見出しは略式だが) をつくる Python プログラムをつぎのリンクさきに置いた。

• smalltheta.py

ばねふりこ

現実の物体をつかって、単ふりこよりもよい近似で単振動がおこるものとしては、 ばね によって質点が上下にふれる ふりこがある。

ばね の性質を理想化して、 ばねの長さが標準の長さから正負のいずれでもずれると ずれた長さに比例する復元力がはたらくとし、比例定数を k とする。

もし、重力がなく、ばねの復元力だけが働くとすれば、 運動方程式は (1.17) そのものになる。

重力 (一定の重力加速度 g) がかかったばあいを考える。 質点の鉛直座標を z とする。運動方程式はつぎのようになる。

m d²z/dt² = -k z - m g

まず、ばねの復元力と重力がつりあって静止する位置 z₀ を考える。

0 = -k z₀ - m g

z₀ = -g (m/k)

(z - z₀) をあらためて x と書けば、(1.17) がなりたち、解は単振動になる。