中間レポート課題

問い 1

地球の表面および外部で働く地球の重力については、 地球をその中心に質量が集中した質点とみなす近似ができる。

地球の形は球とみなす。その大円の円周は 4.0 × 10⁷ m である。 地球の表面での重力加速度は g = 9.8 m/s² である。 重力定数 (万有引力定数)は、有効数字 2けたで、 G = 6.7 × 10^-11 m³ kg^-1 s^-2 である。 地球の質量はいくらか。単位をつけて答えよ。

問い 2

人工衛星を理想化したものとして、 地球の中心を中心とし、地球の半径に等しい半径の円軌道をまわる質点を考える。 (質点の質量を m とするが、下の問いの答えは m の値によっては変わらないはずである。) 地球の重力だけが働き、摩擦力その他は働かないと仮定する。 この質点の、速度、加速度はそれぞれどちら向きにどれだけの大きさになるか。 さらに、この質点の、単位質量あたりの運動エネルギー、 単位質量あたりの位置エネルギーは、それぞれどれだけの大きさになるか。 向きはことばで、大きさは数値とSI単位との組で答えよ。

ただし、位置エネルギーのゼロ水準としては、距離が無限遠のばあいを採用する。 この約束のもとで、地球 (質量 M_E の質点とみなす) がもたらす重力による、 地球の中心から距離 r にある質点の単位質量あたりの位置エネルギーは、 「- G M_E / r」と書くことができる。 【教科書 1.14節に出てくるポテンシャルを 質点の質量でわったものである。】 G は重力定数である。分母が r の 1乗であることに注意。

問い 3

問い 2 の設定から、円軌道の半径が n 倍になると、問い 2 のそれぞれの量は何倍になるか。 (一般の n について答えるのがむずかしければ、n = 2 のばあいについて答えよ。)

問い 4

問い 2 の設定から、地球の質量が n 倍になると、問い 2 のそれぞれの量は何倍になるか。 (一般の n について答えるのがむずかしければ、n = 2 のばあいについて答えよ。)