システムと三角関数

• システムという考え方
  • 地球科学での使われかたは、たとえば、岩波講座地球惑星科学第2巻「地球システム科学」参照
    • 物質やエネルギーの出入りに注目(熱力学でいう「系」)
    • 信号の出入りに注目(計測・制御工学でいう「システム」)
    • 数学でいう「力学系」「複雑系」...連立(微分)方程式系
    • 生態系
  • この授業(時系列解析の部分)では、計測・制御工学に近い立場をとる。
• 地球科学とシステムの2種類のかかわり
  • 地球(の部分)を「システム」としてとらえること and/or 地球(の部分)に関する物理的モデルを考えること
  • 観測システムを設計すること
• 線形システム
  • 線形(linear): 「直線的」という意味。 出力(の平均からの偏差)が入力(の平均からの偏差)に比例する。 ただし、時間に関する微分・積分などを含んでもよい。
  • 三角関数展開との関係: 線形システムでは、それぞれの振動数成分の入力・応答を独立に扱える。
• 振動と波動
  • 振動: (ほぼ)一定の周期をもってくりかえす現象。 多くの場合、変位が大きいほど大きい復元力があるために起こる
  • 波動: 振動が空間的に伝わる現象
• 現象と関数
  • 減衰・増幅現象と指数関数
  • 振動と三角関数 [江沢「物理学の視点」参照]
• ものごとを三角関数に分解する(波の重ね合わせとして表現すること) ... Fourier展開 [春日「フーリエ級数の使いみち」参照]
  • 背景
    • すべての連続関数は三角関数の重ね合わせで表現できる
    • 線形システムでは、三角関数を入力すれば同じ振動数の三角関数が出力される
    • 現実に、波らしい現象が起こることはよくあり、人工的に作ることもできる
  • 応用
    • 入力から出力への変換特性を振動数別に見る (線形システムに近い対象の場合)
    • 自由振動・固有振動を見る (線形システムに近い対象の場合)
    • 振動数別のパワー分布を見る (非線形の場合)
  • サンプリング問題
    • 連続関数か離散的サンプルか <=> 無限の数直線か有限の区間か
    • (時間領域と振動数領域の裏表の関係)

参考文献

• 江沢 洋, 1983: 物理学の視点。培風館, 249 pp. (特に3章「微分方程式の発想」3-2, 3-4, 3-5.
• 春日 隆, 1993: フーリエ級数の使いみち。共立出版 (物理数学 One Point 5), 121 pp. (特に4章「フーリエ級数」)
• 廣田 勇, 1999: 気象解析学。東京大学出版会, 175 pp. (特に6章「振動と波動」)

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