「地学」(2018年度秋学期) 第2回 2018年10月1日

離散量と連続量

数量には、整数値だけをとる離散量と、 数直線の任意の位置に対応し、(数学用語でいえば)実数値をとる、連続量がある。 【くわしくいうと、整数値でない値をとる離散量もありうるが。】 物理量の多くは連続量である。(あるいは、そのようにみなされている。)

整数の累乗 (ベキ[冪])

1に a を n 回かけたものが「a の n乗」「an」である。 【「1に...」という表現はふつうでないかもしれないが、このほうがまちがえにくいと思う。】

位取り[くらいどり]、n進法、10進法

整数にひとつひとつ名まえをつけていくと、おぼえきれなくなる。 いくつかごとにまとめてかぞえることが発達した。 人はかぞえるのに指[ゆび]をつかい、ゆびの数は両手あわせて10なので、 10ごとにまとめることが発達した。 10ごとにまとめたものをさらに10ごとにまとめる、ということをくりかえす。 10のベキでまとめる、ともいえる。 これが10進法だ。

人間の歴史のなかで発達したかぞえかたは、 いずれも10進法を含むけれども、12進法、20進法、60進法などがまざっていた。 近代になって、なるべく10進法に統一するようになったが、 時間と角度の単位には60進法などがのこっている。

計算機を設計する際には、2進法にもとづくのがふつうになっている。 また、理屈を考える際にも、2倍ごとにまとめるという考えかたは、たびたびつかう。

数量の規模 (order of magnitude) を10進法のけたで考えること

人は物理量や社会の量をあつかうとき、 同じ単位であらわした数値が、 10進法で同じけたになれば似たような数値だと考え、 けたがちがえば、だいぶちがうと考えることが多い。

数値の指数表記

自然科学の分野では、数値を、「m かける 10の n 乗」の形であらわすことが多い。 ここでの m を「仮数」、n を「指数」という。 m は整数部がひとけたの値になることがのぞましいとされる。 しかし、演算のつごうで、そうしないこともある。

計算機のなかでは、実数の近似値を、「浮動小数点数」という形で表示する。 その内わけは「m かける 2 の n 乗」のような形をしている。

指数が整数でないベキ

連続量を考えれば、ベキの指数は整数にかぎらず、実数値をとりうる。 たとえば、a の 1/2 乗は、aの平方根である。

指数関数

指数関数 exp(x) は、 x で微分すると exp(x)自身になる関数である。 そして、exp(0) = 1 である。

exp(x) は ex でもある。 e は 2.78... という有限けた数の小数ではかけない定数である。

exp(a+b) = exp(a)× exp(b) のような関係がある。 (ここで「×」は実数のかけざんであり、記号を省略してよいのだが、わざと書いておいた。)

対数

実数のかけざんの近似計算をするとき、たしざんですませたい。 そのためには、 log(a × b) = log(a) + log(b) となるような、 x から log(x) への変換があるとよい。

10を底とする対数(常用対数): x = 10y ⇔ y = log10 x

2を底とする対数: x = 2y ⇔ y = log2 x

eを底とする対数(自然対数): x = ey = exp(y) ⇔ y = loge x

電卓などの「log」は自然対数のことと常用対数のことがあるので注意。 (「exp」も指数関数のことと10の指数のことがある。)

変数変換としての対数

けた数が大きくかわりうる数量を対象とするとき、 その数量のかわりに、その対数をあつかうことがある。

対数目盛り

グラフの縦軸・横軸の尺度を、数量自体でなく、その対数に比例させることがある。 (ただし、めもりにつける数字は、数量自体を書くことが多い。)

片対数グラフ

横軸に x、縦軸に log y 【縦横が逆の場合もある】

点の分布が直線にのるとすれば、x と log y との関係が一次関数。 x と y との関係は?

両対数グラフ

「片対数グラフ」と書きまちがえていましたが、授業後に訂正しました。

横軸に log x、縦軸に log y

点の分布が直線にのるとすれば、log x と log y との関係が一次関数。 x と y との関係は?

計算尺

電子計算機が普及するまで、技術計算によく使われた。

対数めもり の ものさし を組み合わせて、 長さのたしざん・ひきざんによって、数量のかけざん・わりざんの計算をする。

(数値の指数表示の指数部分は別途暗算しておき、仮数部分をもとめるのに使う。)

数量のものさし

松森(2007)の本で紹介されている、order of magnitudeの感覚をつかむための道具。 計算尺と同様な構造だが、10の整数乗(だけ)をあつかう。


2018-10-01
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
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