現実には、指数関数型の減衰の現象はよく見ることができるが、指数関数 型の増大がきれいに見られることは少ない。(しかし、急速に発達する現象の 初期段階を理論的に考えるときには、指数関数型の増大を仮定することで 理解が進むことが多い。たとえば気象学では、温帯低気圧や台風のそれぞれの 発生の理論がそのように組み立てられている。)
現実の量 z (たとえば人口)が指数関数的に増大を続けないのは、z を大き くするために必要な「資源」が有限であるか、または、z が大きくなること自 体に、zの増加を妨げる副作用があるからだろう。
結果が指数関数になる方程式
d z / dt = a zに、別の項を追加することによって、このような効果を表現できる。
そのうちでも比較的簡単なのが、ロジスティック(logistic)式と呼ばれる
d z / d t = a z ( 1 - z / zlimit )(a, zlimitは定数)、または、変形して
d z / d t = a z - b z2(a, bは定数) の形のものである。 この式を最初に示したのは オランダのVerhulst(フェルフルスト)で1837年または1838年だそうだ。 なお、logisticsという名詞は 兵站[たん]または補給というような意味の軍事用語で、 登山隊や学術調査隊でも使うことがある。 形容詞logisticも、その名詞に対応する形容詞として使われることもあり、 資源の制約のある状況の現象を表わす式にふさわしいとも思われるが、 「計算の」あるいは「計算能力のすぐれた(人)」という意味もあり、 計算能力のすぐれたVerhulstを記念したにすぎないという説もある。
ロジスティック式は常微分方程式であり、解析解を求めることができる。 手順については概略だけ述べておく。
zlimit
z = --------------------------------------
zlimit
1 + ( --------- - 1 ) exp ( - a t )
z0
となるはずである。
ただし、z0はt = 0でのzの値(初期値)。
この解析解を計算し、グラフにして指数関数と比較してみよう。
プログラミング上の注意:
現実には、資源の制約や過密の副作用は、必ずしも、(zlimit - z)に 比例する形にはならないかもしれない。 そのため、ロジスティック式に似た他の式も提案されている。 解析解が求まらないものもある。