「次元」という用語は、いろいろな意味で使われます。 空間を扱うのに、点は0次元、線は1次元、面は2次元、立体は3次元、 という「次元」を使います。 また、プログラム言語では、「2次元の配列」「3次元の配列」 といったものを使うことがあります。(さらに、この「次元」に対応する 英語が、配列の「寸法」(各次元ごとの大きさの指定)を意味するのと 同じ「dimension」なので、注意が必要です。) 配列の次元と空間の次元との間には、 空間を格子点で区切って差分法などの計算をする場合、2次元空間ならば 2次元配列で表現するとわかりやすい、という程度の関係はありますが、 必然的関係はありません。
自然現象を扱う場合(人間がかかわっている現象でも物質的な面に注目する 場合)、「物理量の次元」という概念をよく使います。 たとえば、長さと重さ(正確には質量)とは、実数値をとりうる点は同じですが、 次元が違うので、3 m と 15 kg を たしたり、大小を比較するのは無意味です。3 kcal [キロカロリー]と 450 Wh[ワット時]は次元が同じなので、比較できますが、共通の単位 (この場合、J [ジュール])に換算して数値の大小で比較するのがふつう でしょう。「体積」は「長さ×長さ×長さ」、つまり長さの3乗という次元 を持っています。「流量」は、時間あたりにある場所を通過する体積 ならば「長さの3乗かける時間の(-1)乗」、時間あたりに通過する質量 ならば「質量かける時間の(-1)乗」という次元を持っています。
物理量を含む式を書く場合、 その中に出てくる変数や定数に勝手な単位を使い、数値の間に成り立つ 関係を示しても、単位を変えると意味がなくなってしまいます。 そういう式を構成する変数や定数は、物理量を表現しているので、 それぞれ次元があるはずです。ただし、同じ次元の量どうしの比は 無次元(つまり「1」という次元、「0」ではない)になります。 物理量を含む式では、すべての次元つきの量について単位を忘れずに 書くのが正しい形であると思います。
しかし、計算をする場合、多くのプログラム言語、たとえば Pascal, Fortran, Cなどは、数値を扱うようにできていて、単位のついた 量を扱うようにはできていません。物理量の間の関係を表現した式を、 計算プログラムに持ちこむためには、量の次元を取り除くことが、 逆に計算結果から物理量の関係を考えるためには、量の次元をつけて やることが、実は必要になるのです。
そのために勧められる考え方のひとつは、「無次元化」というもの です。式の形、あるいは起こる現象についての予測から、 代表的な物理量を決めてやります。 たとえば、問題の性質が減衰型の時間変化であることがわかって いれば、「半減期」、つまり注目している量が初期値の半分になる 時間を見積もることができます。(微分方程式の理論の上では、 半分よりも、「1 / e」になる時刻、つまり比例定数 a の逆数のほうが 便利ですが、これは半減期の定数倍にすぎません。) 振動型であると わかっていれば、その周期をとることができます (これも、周期の 1 / (2π)倍をとる場合もあります)。 「時間 t」が出てくるところを、 すべて、「代表的な時間スケール T」で割ったt' = t / T を使うように、式を書きかえてやります。 このようにすれば、t'は無次元量です。 しかも注目している現象の時間スケールが、t'の尺度で 見て1とあまり違わない桁(たとえば10の1乗とか(-1)乗の桁)で変化すると 考えることができます。 無次元化は、特に理論的に単純な問題を扱ううえではよく使われる 考え方です。たとえば
しかし、いろいろな現象がからみあった問題のシミュレーションを する場合、無次元化をしようとしても、何を代表的な物理量にとったら よいかわからないことも多いのです。 そのような場合は、量を単位つきのまま(有次元とも言う)で扱いますが、 その単位として、一定の基本単位から組み立てたものを使うように します。 国際単位系(SI)では、基本単位として、長さに m、 時間に秒(s)、質量に kg、電流にアンペア(A)、温度にケルビン(K)を 採用しています。 これを標準と考え、他の単位で得られているデータはこれに換算するのが よいでしょう。 ただし、実際の計算プログラムを作る際には、浮動小数点数の制約、 とくに指数部のビット数が有限なために絶対値のあまり大きい数や小さい数は 表現できないということを考慮して、単位を変更することもあります。 その場合は、プログラムを使う人(たとえ自分であるとしても)のために、 説明書やコメント文で特にていねいに説明しておくことが必要でしょう。
何を独立な次元とするかは、必ずしも明らかではありません。 たとえば、電流は国際単位系では長さ・時間・質量と独立な次元 と見ていますが、そうではなくそれらから組み立てられた量と考える流儀もあります。 角度は、国際単位系では「(円周の)長さ 割る (半径の)長さ」なので、無次元ですが、 組み立てられた量と考えて「ラジアン」という単位が与えられています。 人口のように、整数値だけをとる「個数」は、無次元と考えられるのが ふつうです。しかし、いわゆる「モル数」は、分子の個数の代わりとして 使われるのですが、比例定数であるアボガドロ数が観測で求められる量 であるせいもあって、国際単位系では「物質量」という独立な次元、 「mol」という基本単位を持つものと認められました。 社会的な量を扱う場合、「人口あたりの量」と「総量」の区別は重要ですから、 国際単位系から離れて、「人口」という次元を導入して考えたほうがよいかもしれません。
無次元化して計算するにせよ、単位つきで計算するにせよ、 量の次元に関する情報は、 数値計算用のプログラム言語の世界には持ちこめないので、 その外で人が管理してやる必要がある、ということに注意してください。