質量保存、エネルギー保存、運動方程式(運動量または角運動量の保存)などの物理法則の、 流体に対する表現では、 物理量を連続の時間・空間座標の関数として表現している。 ところが、実際に数値を入れて物理量の収支を考える際には、 ある時間範囲・空間範囲で平均したものを扱うことが多い。 平均量についての保存量の収支の式は、 瞬間・点での値について成り立つ保存則の式に平均量を代入したままでは正しくなく、 複数の量の積を含む項に関して、修正が必要となる。
まず、時間平均でも空間平均でもあてはまるように、一般的に述べてみる。 量Xの平均をX、 平均からのずれ(deviation、偏差)をX ' であらわす。 次の(1)式は記号の定義を示すものである。
XとYの積の平均 X Yは、次のように分解することができる。X = X + X ' ... (1)
X Y = X Y + X' Y + X Y' + X' Y' ... (2)
平均とそれからのずれの定義から、X' とY' は0なので、 これは次のように単純化できる。
X Y = X Y + X' Y' ... (3)
(3)式の右辺第1項は平均値どうしの積だが、 右辺第2項として「平均値からのずれどうしの積の平均」、言いかえれば、 X とYの「共分散」が現われる。
このような形のXやYのところにくる量の 少なくとも一方は、流体のもつ速度であることが多い。 流れを、平均の流れと、そのまわりで変動する流れに分けて認識することになる。 この後者の「変動する流れ」を英語で eddyといい、日本語では「渦」ということが多い。 ただしこの場合の「渦」は、(英語のvortexに対応する場合とは違って) 必ずしも環状の形をもつものではない。 そこで、(3)式の右辺第2項のようなものを、eddy term (渦の項)ということがある。
大気のうちでも地表面に近い大気境界層では、 細かい時間・空間規模の空気の運動に伴って、 温度に比例するエンタルピーが運ばれること(顕熱輸送)と、 水蒸気が運ばれること(潜熱輸送)が重要である。 速度の鉛直成分をw(上昇が正)、 気温をT、比湿をqとすれば、 顕熱輸送はw T、 潜熱輸送はw qに比例する。
およそ1秒の時間規模で変化する流れも、顕熱・潜熱輸送に寄与する。 現在では、音波の伝播を測定する方法や、光の吸収や散乱を測定する方法で、 この時間規模の風速・気温・水蒸気の変動を測定することも可能にはなったが、 あらゆるところで測定することは困難である。 乱流自体に関心がある場合のほかは、気象変数は、もっと長い時間規模の平均量として扱われることが多い。 たとえば、風速の観測値としては、慣例として、10分平均値が使われることが多い。
そこで、Xを、10分という時間区間で平均することとしてみる。 乱流による顕熱鉛直輸送の10分平均値は、w Tに比例する。 これは(3)と同様に、次のように分解される。
w T = w T + w' T ' ... (4)
地表付近では、wは小さく、 顕熱鉛直輸送は、(4)の右辺第2項、つまり変動する速度鉛直成分と温度との共分散に比例すると 見てよいことが多い。
大気の大規模な運動は、6時間や12時間の間隔での観測でとらえることができる。 それをもとに、たとえば12・1・2月や6・7・8月という、季節ごとの平均の循環を考えることがある。 この場合のXは、3か月という時間区間での平均である。
風速の南北成分(南風つまり北向きの流れが正)をv、 気温をTとすれば、 季節平均の大気による正味北向きエネルギー輸送には、 v Tに比例する部分が含まれる。 (これは大気によるエネルギー輸送の全部ではないが、ここでは便宜上この部分をとりあげる。) これは(3)と同様に、次のように分解される。
v T = v T + v' T ' ... (5)
(5)の右辺第1項は、季節平均の気温が季節平均の風で運ばれる、ととらえることができる。 右辺第2項は、気温と風の季節平均からのずれどうしが相関をもつ場合に無視できなくなる。
北半球の温帯では多くの場合、数日の時間規模の変動が大きく、 南風 (v' > 0) のとき暖かく(T ' > 0)、 北風 (v' < 0) のとき寒い(T ' < 0)傾向がある。 すると、右辺第2項は正、つまりこの項は北向きのエネルギー輸送を示すことになる。
大気大循環については、時間平均とともに、東西全経度平均(zonal平均)も考えることが多い。
ここでは、XとX ' は 時間平均とそれからのずれをさすものとし、 東西全経度平均を[X]、 それからのずれをX*であらわすことにする。 東西全経度平均についての(1)式、(3)式にあたるものは、次のような形になる。
X = [X] + X* ... (6)
[X Y] = [X] [Y]+ [X* Y*] ... (7)
具体的に、南北方向の熱輸送のうち、(5)式に示されたv Tに比例する部分を、 東西全経度平均すると、次のようになる。
[v T] = [v T] + [v' T ' ] ... (8)
(8)の右辺第1項を、(7)にならって分解すると、次のようになる。
[v T] = [v] [T]+ [v* T*] ... (9)
(9)を(8)に代入すると、次のようになる。
[v T] = [v] [T]+ [v* T*] + [v' T ' ] ... (10)
(10)の右辺は3つの項からなる。
(ここで仮に「渦運動」としたところの日本語表現は、気象学者の間でも必ずしも一定せず、 わたしも違う用語を使うこともあるが、このページではひとまずこの形を示しておく。)