2017年度 第4回小レポート出題

問題

気候の変化を、 気候システムのいちばん単純なモデルである0次元エネルギー収支モデルで、 ただし、定常ではなく時間変化のあるシステムのふるまいとして考えたい。 その準備として、0次元エネルギー収支モデルの基本的なふるまいを確認する問題である。

問1

0次元エネルギー収支モデルを使う際には、 水平(南北、東西とも)方向にはずっと同じものがひろがっていると想定したうえで、 地表面の単位面積あたりの数量で考えるのがふつうである。

次のそれぞれの深さの水の層について、 単位面積あたりの熱容量を求めてみよう。 ただし、水の 比熱容量(=単位質量あたりの熱容量)は 4.2 × 103 J/(kg K) [2018-01-01 授業中に見せたものはまちがっていたので、授業後に修正しました]、 水の密度は 1.0 × 103 kg/m3 で、それぞれ一定としてよい。

なお、陸の表面付近を構成する物質はさまざまだが、 体積あたりの熱容量は、水の場合と、けた(order of magnitude)は同程度である。 たとえば、比熱容量が水の4分の1、密度が水の2倍ならば、その積は水の2分の1になる。

問2

大気のうち対流圏の部分の、地表面の単位面積あたりの熱容量を概算してみよう。 大気のもつエネルギーのうちどの部分をかぞえるか、圧力による仕事の項をどう扱うかは、 必ずしも定まっていない。 ここでは概算の便宜上、圧力一定での比熱容量(定圧比熱容量)を使い、 大気のもつエンタルピーをかぞえることにする。

大気(1成分近似)の単位質量あたりのエンタルピーは、cp T、 ただしcpは大気の定圧比熱容量で、1.0×103 J/(kg K) (ここまでの精度で きりのよい数値になったのは偶然である)。 Tは温度。

対流圏の上端は気圧 200 hPa (高さ約 10 km)、下端は気圧 1000 hPa (海面付近)とし、 静水圧の近似を前提に、単位面積あたりの気層の質量は、上下の気圧差を重力加速度 g で わったものに等しいと考えてよい。g = 9.8 m/s2。 (圧力のSI単位はPaであることに注意。)

問3

対象とするシステム(=系)はひとつの層であり、それがもつ単位面積あたりのエネルギーは、 単位面積あたりの熱容量と温度をかけたものだとする。

(温度を何かの基準からの相対値で考えるかぎりでは単位は K でも ℃でも同じである。 今回のレポート課題では出てこないが、 エネルギーを変化させるしくみの温度に依存するしかたによっては、 絶対温度を扱う必要があることもありうる。)

この問いでは、 系内外の単位時間あたりのエネルギーの出入りの量が、系外から決められたと仮定する。

時刻0から、 正味で地表面の単位面積あたり 1 W/m2のエネルギー供給が続いたとする。

熱容量が、問1の(a)(b)(c)(d)のそれぞれの場合について、 温度が時間とともにどう変わっていくかを考えよ。 とくに、時刻0から、1年後、30年後のそれぞれの温度の、時刻0の温度からの差を示せ。

問4

問3と同様なシステムを扱うが、 今度は、系外が熱力学でいう「熱浴」のようなもので、 その温度は系内の状態とは無関係に決められており、 単位時間あたりのエネルギーの出入りは、温度が高いほうから低いほうに向かい、 その量は、系外と系内との温度の差に比例すると仮定する。

比例定数は、仮に、1 (W/m2)/K としてみよう。

系外の温度が一定のまま長時間がたてば、系内もそれと同じ温度で定常状態になっているだろう。

そのような定常状態があったとして、 時刻0に突然、系外の温度が ΔT だけ上がり、上がったまま続いたとしよう。 系内の温度はどのように変化するか。 (指数関数でかけるはず。)

熱容量として、問1の(a)(b)(c)(d)のそれぞれの場合を想定し、 ΔTの値としては、(現実にありそうなものよりも大きめの値だが) 10 K の場合について、 温度の時間変化の特徴を示せ。

注意

問題がわからなくてもあきらめないで、 どこまで考えてどこでわからなくなったかを答えてください。

計算の過程を示してください。 ただし、簡潔に、レポート全体が1ページにおさまる程度にしてください。

有効数字は、最終結果は1桁でかまいませんが、 中間結果は2桁または3桁とったほうがよいでしょう。 無効な桁数を多く書かないようにしてください。 (変数の形で計算を進め、最後にまとめて数値を代入するのがよいかもしれません。)

特別な注意: [第1回小レポート]と同様。

期限

1月25日まで。

形式、提出方法


2018-01-11
増田 耕一 (MASUDA Kooiti)
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